Sabendo que o lado do pentágono regular inscrito em um círculo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do hexágono regular e do decágono regular inscritos no mesmo círculo, determine o lado do pentágono regular inscrito em um círculo de raio R.

Passo 1

O enunciado diz que o lado do pentágono regular inscrito no círculo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do hexágono e do decágono regulares inscritos no mesmo círculo de raio R. Para resolver, vamos usar a fórmula do lado de um polígono regular inscrito num círculo:
lado do n-gono = 2Rsinl(tfracpinr)

Passo 2

Calculemos o lado do hexágono regular ( n=6):
a = 2Rsinl(tfracpi6r) = 2Rcdottfrac12 = R

Passo 3

Calculemos o lado do decágono regular ( n=10):
b = 2Rsinl(tfracpi10r)

Passo 4

Pela condição do problema, o lado do pentágono c satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 = R^2 + l(2Rsin(tfracpi10)r)^2 = R^2l[1 + 4sin^2l(tfracpi10r)r]
Logo,
c = Rraiz1 + 4sin^2l(tfracpi10r)

Passo 5

Sabendo a identidade trigonométrica
raiz1 + 4sin^2l(tfracpi10r) ;=; 2sinl(tfracpi5r),
concluímos
c = 2Rsinl(tfracpi5r)
Em forma de radical, usando sin(tfracpi5)=tfracraiz10-2raiz54, dá também
c = raiz10-2raiz52,R = Rraiz5-raiz52

Resposta

O lado do pentágono regular inscrito num círculo de raio R é
boxedc = 2Rsinl(tfracpi5r) = Rraiz5-raiz52

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