Dado um triângulo equilátero e sabendo que existe outro triângulo inscrito com os lados respectivamente perpendiculares aos do primeiro, calcule a relação entre as áreas dos dois triângulos.
Passo 1
O enunciado considera um triângulo equilátero de lado
e inscreve nele outro triângulo cujos lados são, respectivamente, perpendiculares aos lados do primeiro. Isso caracteriza justamente o triângulo pedal do incentro em relação ao triângulo original. O que precisamos usar é o fato de que, no caso equilátero, incentro
baricentro
ortocentro, e os pés das perpendiculares são os pontos médios dos lados.
Passo 2
Em qualquer triângulo, o triângulo pedal do incentro tem vértices nos pés das perp. do incentro a cada lado. No triângulo equilátero, incentro e baricentro coincidem e cada mediana é também altura (perpendicular à base). Logo, a reta que sai do incentro e é perpendicular a um lado corta esse lado exatamente no seu ponto médio.
Passo 3
Concluímos que o triângulo inscrito tem vértices nos pontos médios dos lados do triângulo equilátero original. Esse é o triângulo medial, que é também equilátero e semelhante ao original com razão linear
Passo 4
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Assim,