Determine a razão entre a soma das áreas de dois triângulos equiláteros construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo e a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa desse triângulo, sabendo que um dos catetos mede 21 cm e o ângulo agudo oposto a ele mede
.
Passo 1
O enunciado descreve um triângulo retângulo em que um cateto mede
cm e o ângulo oposto a esse cateto é
. Queremos a razão entre a soma das áreas de dois triângulos equiláteros construídos sobre os catetos e a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa. Para resolver, vamos usar trigonometria para achar a hipotenusa e o outro cateto, depois aplicar as fórmulas de área de triângulo equilátero e de quadrado.
Passo 2
Usamos as definições de seno e cosseno no ângulo de
:
Para a hipotenusa
,
Para o outro cateto
,
Passo 3
A área de um triângulo equilátero de lado
é
Logo, para o cateto de comprimento
:
Para o cateto de comprimento
:
Somando:
Passo 4
A área do quadrado de lado igual à hipotenusa
é
Passo 5
A razão pedida é