Determine a razão entre a soma das áreas de dois triângulos equiláteros construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo e a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa desse triângulo, sabendo que um dos catetos mede 21 cm e o ângulo agudo oposto a ele mede 30^circ.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo retângulo em que um cateto mede 21 cm e o ângulo oposto a esse cateto é 30^circ. Queremos a razão entre a soma das áreas de dois triângulos equiláteros construídos sobre os catetos e a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa. Para resolver, vamos usar trigonometria para achar a hipotenusa e o outro cateto, depois aplicar as fórmulas de área de triângulo equilátero e de quadrado.

Passo 2

Usamos as definições de seno e cosseno no ângulo de 30^circ:
Para a hipotenusa c,
sin30^circ = cateto opostohipotenusa Longrightarrow c = 21sin30^circ = 21tfrac12 = 42
Para o outro cateto b,
cos30^circ = cateto adjacentehipotenusa Longrightarrow b = 42cos30^circ = 42cdotraiz32 = 21raiz3

Passo 3

A área de um triângulo equilátero de lado s é
s^2raiz34
Logo, para o cateto de comprimento 21:
A1 = 21^2raiz34 = 441raiz34
Para o cateto de comprimento 21raiz3:
A2 = (21raiz3)^2raiz34 = 1323raiz34
Somando:
A1 + A2 = 441raiz34 + 1323raiz34 = 1764raiz34 = 441raiz3

Passo 4

A área do quadrado de lado igual à hipotenusa 42 é
Asquare = 42^2 = 1764

Passo 5

A razão pedida é
A1 + A2Asquare = 441raiz31764 = raiz34

Resposta

raiz34

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