É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um 2^circ triângulo. Com vértices nos pontos médios dos lados do 2^circ constrói-se um 3^circ triângulo e assim por diante. Qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo inicial de perímetro p. Em cada etapa, constrói-se um novo triângulo ligando os pontos médios dos lados do anterior. Queremos o limite da soma infinita dos perímetros desses triângulos. O conteúdo principal aqui é a propriedade do triângulo medial (cada lado reduzido à metade) e a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Quando ligamos os pontos médios dos lados de um triângulo, obtemos o triângulo medial cujo cada lado vale metade do lado correspondente do triângulo original. Logo, se o triângulo inicial tem perímetro p, o segundo triângulo (o medial) tem perímetro
p2 = p2

Passo 3

Repetindo o mesmo processo, cada novo triângulo tem perímetro igual à metade do perímetro do anterior. Assim, a sequência de perímetros pn é
p1 = p, p2 = p2, p3 = p2^2, p4 = p2^3, ;dots
ou, de modo geral,
pn = pcdotl(tfrac12r)^,n-1

Passo 4

A soma dos perímetros é a série geométrica infinita
sumn=1^inftypn = psumk=0^inftyl(tfrac12r)^k = pcdot11-tfrac12 = 2p

Resposta

O limite da soma dos perímetros é 2p.

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