É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um
triângulo. Com vértices nos pontos médios dos lados do
constrói-se um
triângulo e assim por diante. Qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos?
Passo 1
O enunciado dá um triângulo inicial de perímetro
. Em cada etapa, constrói-se um novo triângulo ligando os pontos médios dos lados do anterior. Queremos o limite da soma infinita dos perímetros desses triângulos. O conteúdo principal aqui é a propriedade do triângulo medial (cada lado reduzido à metade) e a soma de uma série geométrica.
Passo 2
Quando ligamos os pontos médios dos lados de um triângulo, obtemos o triângulo medial cujo cada lado vale metade do lado correspondente do triângulo original. Logo, se o triângulo inicial tem perímetro
, o segundo triângulo (o medial) tem perímetro
Passo 3
Repetindo o mesmo processo, cada novo triângulo tem perímetro igual à metade do perímetro do anterior. Assim, a sequência de perímetros
é
ou, de modo geral,
Passo 4
A soma dos perímetros é a série geométrica infinita
Resposta
O limite da soma dos perímetros é
.