As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24^circ. Determine o número de diagonais desse polígono.

Passo 1

O enunciado fala de um polígono regular de n lados cujas mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo de 24^circ. Vamos usar a propriedade de que, em um polígono regular inscrito numa circunferência, cada mediatriz de lado passa pelo centro e bisseta o arco correspondente. Também precisaremos da fórmula do número de diagonais.

Passo 2

O arco entre dois vértices consecutivos subtende um ângulo central de tfrac360^circn. A mediatriz de cada lado coincide com a bissetriz desse arco, então o ângulo entre as duas mediatrizes é
360^circn
Pelo enunciado,
360^circn = 24^circ Longrightarrow n = 36024 = 15

Passo 3

O número de diagonais de um polígono de n lados é
n(n-3)2
Para n=15,
15cdot(15-3)2 = 15cdot122 = 90

Resposta

90

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