Um polígono regular tem 170 diagonais. Quantas passam pelo centro?

Passo 1

O enunciado diz que temos um polígono regular cujo número total de diagonais é 170 e pergunta quantas dessas diagonais passam pelo centro. Para resolver, vamos usar a fórmula do número de diagonais de um polígono de n lados e, em seguida, analisar quais diagonais passam pelo centro em um polígono regular.

Passo 2

O número total de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado por
n(n-3)2
Como esse valor é 170, temos
n(n-3)2 = 170

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando,
n(n-3) = 340 Longrightarrow n^2 - 3n - 340 = 0
O discriminante é
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot(-340) = 9 + 1360 = 1369,
logo raizDe<a = 37. As raízes são
n = 3 pm 372
A única solução positiva é
n = 3 + 372 = 20

Passo 4

Num polígono regular de n lados com n par, as diagonais que passam exatamente pelo centro são aquelas que ligam cada vértice ao vértice oposto (antípoda). Há exatamente n/2 pares de vértices antípodas, logo o número de diagonais que passam pelo centro é
n2

Passo 5

Substituindo n = 20, o número de diagonais que passam pelo centro é
202 = 10

Resposta

10

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