Um polígono regular tem 170 diagonais. Quantas passam pelo centro?
Passo 1
O enunciado diz que temos um polígono regular cujo número total de diagonais é
e pergunta quantas dessas diagonais passam pelo centro. Para resolver, vamos usar a fórmula do número de diagonais de um polígono de
lados e, em seguida, analisar quais diagonais passam pelo centro em um polígono regular.
Passo 2
O número total de diagonais de um polígono convexo de
lados é dado por
Como esse valor é
, temos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando,
O discriminante é
logo
. As raízes são
A única solução positiva é
Passo 4
Num polígono regular de
lados com
par, as diagonais que passam exatamente pelo centro são aquelas que ligam cada vértice ao vértice oposto (antípoda). Há exatamente
pares de vértices antípodas, logo o número de diagonais que passam pelo centro é
Passo 5
Substituindo
, o número de diagonais que passam pelo centro é
Resposta
10