(UF-GO) Dados os números a1, a2, ldots, an e considerando a média aritmética M(x) dos n números (a1-x)^2,(a2-x)^2, ldots,(an-x)^2, em que x é um número real qualquer:
a) determine x de modo que a média M(x) seja mínima;
b) determine o valor mínimo da média M(x), que é chamado de variância de a1, a2, ldots, an.

Passo 1

Temos os números a1,a2,dots,an e definimos
M(x)=1nsumi=1^n(ai-x)^2,
onde x é um real qualquer. O objetivo é achar o valor de x que minimiza M(x) e calcular esse valor mínimo (que é a variância). Vamos usar otimização de função quadrática via derivada.

Passo 2

Expandindo a soma e agrupando termos em x,
M(x) =1nsumi=1^nl(x^2-2aix+ai^2r) = x^2-2l(1nsumi=1^nair)x+1nsumi=1^nai^2
Derivando em relação a x:
M'(x)=2x-2l(1nsumi=1^nair)

Passo 3

Para encontrar o extremo, igualamos M'(x)=0:
2x-2l(1nsumi=1^nair)=0 Longrightarrow x=1nsumi=1^nai

Passo 4

Como a segunda derivada é
M''(x)=2>0,
o ponto encontrado é de mínimo.

Passo 5

Substituindo bar a=tfrac1nsumi=1^nai em M(x), obtemos
M(bar a) =1nsumi=1^n(ai-bar a)^2,
que é o valor mínimo de M(x), isto é, a variância dos dados.

Resposta

(a) x=1nsumi=1^nai
(b) min M(x)=1nsumi=1^nl(ai-1nsumj=1^najr)^2

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