(UF-GO) Dados os números
e considerando a média aritmética
dos
números
, em que
é um número real qualquer:
a) determine
de modo que a média
seja mínima;
b) determine o valor mínimo da média
, que é chamado de variância de
.
a) determine
b) determine o valor mínimo da média
Passo 1
Temos os números
e definimos
onde
é um real qualquer. O objetivo é achar o valor de
que minimiza
e calcular esse valor mínimo (que é a variância). Vamos usar otimização de função quadrática via derivada.
Passo 2
Expandindo a soma e agrupando termos em
,
Derivando em relação a
:
Passo 3
Para encontrar o extremo, igualamos
:
Passo 4
Como a segunda derivada é
o ponto encontrado é de mínimo.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
que é o valor mínimo de
, isto é, a variância dos dados.
Resposta
(a)
(b)
(b)