Dados um triângulo ABC , um ponto D sobre AB e um ponto E sobre AC , de modo que \frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}, demonstrar que os pontos médios de \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e DE estão em linha reta.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e pontos D em AB e E em AC tais que
\frac{DA}{DB} \;=\;\frac{EC}{EA}.
Queremos provar que os pontos médios de AB, AC e DE são colineares.
O conteúdo principal é geometria analítica via vetores ou coordenadas.

Passo 2

Escolhemos sistema de vetores com origem em A. Definimos
\vec{B}=\mathbf{b} e \vec{C}=\mathbf{c}.
Como D está em AB, existe s\in(0,1) tal que
\vec{D}=s\,\mathbf{b}.
Nesse caso
DA = s\|\mathbf{b}\|,\quad DB=(1-s)\|\mathbf{b}\| \quad\Longrightarrow\quad \frac{DA}{DB}=\frac{s}{1-s}.

Passo 3

Analogamente, como E está em AC, existe r\in(0,1) com
\vec{E}=r\,\mathbf{c},
e
EA = r\|\mathbf{c}\|,\quad EC=(1-r)\|\mathbf{c}\| \quad\Longrightarrow\quad \frac{EC}{EA}=\frac{1-r}{r}.
Pela condição \frac{s}{1-s}=\frac{1-r}{r}, obtemos
r = 1-s.
Logo
\vec{D}=s\,\mathbf{b} e \vec{E}=(1-s)\,\mathbf{c}.

Passo 4

Chamemos de M, N e P os pontos médios de AB, AC e DE. Então
\vec{M}=\frac{\mathbf{b}}{2}, \quad \vec{N}=\frac{\mathbf{c}}{2}, \quad \vec{P}=\frac{\vec{D}+\vec{E}}{2} =\frac{s\,\mathbf{b}+(1-s)\,\mathbf{c}}{2}.
Reescrevendo,
\vec{P} = s\;\frac{\mathbf{b}}{2} \;+\;(1-s)\;\frac{\mathbf{c}}{2} = s\,\vec{M}+(1-s)\,\vec{N},
ou seja, \vec{P} é combinação afim de \vec{M} e \vec{N}, o que implica que M, N e P são colineares.

Resposta

Os pontos médios de AB, AC e DE estão em linha reta.

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