Dados um triângulo ABC , um ponto D sobre AB e um ponto E sobre AC , de modo que
, demonstrar que os pontos médios de
e DE estão em linha reta.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
e pontos
em
e
em
tais que
Queremos provar que os pontos médios de
,
e
são colineares.
O conteúdo principal é geometria analítica via vetores ou coordenadas.
O conteúdo principal é geometria analítica via vetores ou coordenadas.
Passo 2
Escolhemos sistema de vetores com origem em
. Definimos
e
.
Como está em
, existe
tal que
Como
Nesse caso
Passo 3
Analogamente, como
está em
, existe
com
e
Pela condição
, obtemos
Logo
e
Passo 4
Chamemos de
,
e
os pontos médios de
,
e
. Então
Reescrevendo,
ou seja,
é combinação afim de
e
, o que implica que
,
e
são colineares.
Resposta
Os pontos médios de
,
e
estão em linha reta.