Provar que dois triângulo ABC e \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}, cuja razão \frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}} entre as hipotenusas é igual a razão \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} entre dois catetos, são semelhantes.

Passo 1

O enunciado dá dois triângulos retângulos ABC e A'B'C', com o ângulo reto em A e em A'. Sabe-se que
\frac{BC}{B'C'} \;=\;\frac{AB}{A'B'}.
Queremos provar que eles são semelhantes. Vamos usar o Teorema de Pitágoras para cada triângulo e, a seguir, o critério de semelhança Lado–Lado–Lado (SSS).

Passo 2

Defina
k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}.
Então, ao quadrado,
k^2 = \frac{AB^2}{A'B'^2} \quad\text{e}\quad k^2 = \frac{BC^2}{B'C'^2}.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras em ABC e em A'B'C', temos
BC^2 = AB^2 + AC^2, \qquad B'C'^2 = A'B'^2 + A'C'^2.
Como \frac{BC^2}{B'C'^2}=k^2 e \frac{AB^2}{A'B'^2}=k^2, segue
\frac{AB^2 + AC^2}{A'B'^2 + A'C'^2} = \frac{AB^2}{A'B'^2} \;\Longrightarrow\; \frac{AC^2}{A'C'^2} = \frac{AB^2}{A'B'^2} = k^2.

Passo 4

Da igualdade \frac{AC^2}{A'C'^2}=k^2 tiramos
\frac{AC}{A'C'} = k.
Portanto, concluímos que
\frac{AB}{A'B'} \;=\;\frac{BC}{B'C'} \;=\;\frac{AC}{A'C'} = k,
ou seja, todos os três pares de lados são proporcionais.

Passo 5

Pelo critério de semelhança Lado–Lado–Lado (SSS), triângulos cujos três lados são proporcionais são semelhantes.

Resposta

Os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes.

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