Demonstrar que num triângulo as distâncias do ponto médio de um lado qualquer aos dois outros lados são inversamente proporcionais a estes ultimos.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo
, e
é o ponto médio do lado
. Queremos mostrar que as distâncias de
aos outros dois lados
e
são inversamente proporcionais a estes lados.
Passo 2
Denotemos por
a distância de
ao lado
(isto é,
é o pé da perpendicular de
em
) e por
a distância de
ao lado
(isto é,
é o pé da perpendicular de
em
). Como
é ponto médio de
, temos
Passo 3
Observemos as áreas dos triângulos
e
. Ambos usam a mesma altura
que parte de
em direção a
e têm bases de comprimento
e
respectivamente. Logo,
Como
, segue que
Passo 4
Por outro lado, podemos expressar estas mesmas áreas em função das distâncias
e
:
Da igualdade das áreas vem
Passo 5
Isolando
e
, obtemos
Portanto,
é inversamente proporcional a
e
é inversamente proporcional a
.
Resposta
Seja
o ponto médio de
. As distâncias
a
e
a
satisfazem
logo são inversamente proporcionais aos lados
e
, respectivamente.