Demonstrar que num triângulo as distâncias do ponto médio de um lado qualquer aos dois outros lados são inversamente proporcionais a estes ultimos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo \triangle ABC, e M é o ponto médio do lado BC. Queremos mostrar que as distâncias de M aos outros dois lados AB e AC são inversamente proporcionais a estes lados.

Passo 2

Denotemos por MH a distância de M ao lado AB (isto é, H é o pé da perpendicular de M em AB) e por MN a distância de M ao lado AC (isto é, N é o pé da perpendicular de M em AC). Como M é ponto médio de BC, temos
BM = CM.

Passo 3

Observemos as áreas dos triângulos \triangle ABM e \triangle ACM. Ambos usam a mesma altura h_A que parte de A em direção a BC e têm bases de comprimento BM e CM respectivamente. Logo,
\text{área}(\triangle ABM) = \frac{BM\cdot h_A}{2}, \quad \text{área}(\triangle ACM) = \frac{CM\cdot h_A}{2}.áá
Como BM = CM, segue que
\text{área}(\triangle ABM) = \text{área}(\triangle ACM).áá

Passo 4

Por outro lado, podemos expressar estas mesmas áreas em função das distâncias MH e MN:
\text{área}(\triangle ABM) = \frac{AB\cdot MH}{2}, \quad \text{área}(\triangle ACM) = \frac{AC\cdot MN}{2}.áá
Da igualdade das áreas vem
\frac{AB\cdot MH}{2} = \frac{AC\cdot MN}{2} \quad\Longrightarrow\quad AB\cdot MH = AC\cdot MN.

Passo 5

Isolando MH e MN, obtemos
MH = \frac{\text{área}(\triangle ABC)}{AB}, \quad MN = \frac{\text{área}(\triangle ABC)}{AC}.áá
Portanto, MH é inversamente proporcional a AB e MN é inversamente proporcional a AC.

Resposta

Seja M o ponto médio de BC. As distâncias MH a AB e MN a AC satisfazem
MH = \frac{\text{área}(\triangle ABC)}{AB}, \quad MN = \frac{\text{área}(\triangle ABC)}{AC},áá
logo são inversamente proporcionais aos lados AB e AC, respectivamente.

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