Dados um triângulo A B C e um segmento D E com D em A B e E em A C, prove que, se AD: DB=AE: EC, então DE é paralelo a BC.

Passo 1

O enunciado considera o triângulo ADDB ;=;AEEC e pontos em e em , tais que
Queremos mostrar que é paralelo a . Vamos usar semelhança de triângulos (SAS) para concluir isso.

Passo 2

Da igualdade ADAB ;=;ADAD+DB ;=; AEAE+EC ;=;AEAC podemos escrever
ADAB ;=;AEAC
Ou seja,

Passo 3

Observe que nos triângulos e temos
  1. comum a ambos;
  2. (obtido no passo anterior).
    Pelo critério de semelhança Lado–Ângulo–Lado (SAS), os triângulos e são semelhantes.

Passo 4

Da semelhança ang<= ADE = ang<= ABC e ang<= AED = ang<= ACB segue que os ângulos correspondentes são congruentes:
Como essas são as “alturas” dos segmentos e em relação a , isso implica que .

Resposta

é paralelo a .