Dados um triângulo
e um segmento
com
D em
A B e
E em
A C , prove que, se
AD: DB=AE: EC , então
DE é paralelo a
BC .
Passo 1
O enunciado considera o triângulo
ADDB ;=;AEEC e pontos
em
e
em
, tais que
Queremos mostrar que
é paralelo a
. Vamos usar semelhança de triângulos (SAS) para concluir isso.
Passo 2
Da igualdade
ADAB ;=;ADAD+DB ;=; AEAE+EC ;=;AEAC podemos escrever
Ou seja,
Passo 3
Observe que nos triângulos
e
temos
-
comum a ambos; -
(obtido no passo anterior).
Pelo critério de semelhança Lado–Ângulo–Lado (SAS), os triângulos e são semelhantes.
Passo 4
Da semelhança
ang<= ADE = ang<= ABC e ang<= AED = ang<= ACB segue que os ângulos correspondentes são congruentes:
Como essas são as “alturas” dos segmentos
e
em relação a
, isso implica que
.