Dados um triângulo A B C e um segmento D E com D em A B e E em A C, prove que, se AD: DB=AE: EC, então DE é paralelo a BC.

Passo 1

O enunciado considera o triângulo ABC e pontos D em AB e E em AC, tais que
ADDB ;=;AEEC
Queremos mostrar que DE é paralelo a BC. Vamos usar semelhança de triângulos (SAS) para concluir isso.

Passo 2

Da igualdade ADDB=AEEC podemos escrever
ADAB ;=;ADAD+DB ;=; AEAE+EC ;=;AEAC
Ou seja,
ADAB ;=;AEAC

Passo 3

Observe que nos triângulos ADE e ABC temos
  1. ang<= A comum a ambos;
  2. ADAB=AEAC (obtido no passo anterior).
    Pelo critério de semelhança Lado–Ângulo–Lado (SAS), os triângulos ADE e ABC são semelhantes.

Passo 4

Da semelhança triang<= ADE sim triang<= ABC segue que os ângulos correspondentes são congruentes:
ang<= ADE = ang<= ABC e ang<= AED = ang<= ACB
Como essas são as “alturas” dos segmentos DE e BC em relação a A, isso implica que DEparal<=lBC.

Resposta

DE é paralelo a BC.

Exercícios de Livros Relacionados