DECAIMENTO RADIOATIVO Os dados da tabela foram compilados por um pesquisador em um estudo do decaimento de uma substância radioativa:
Número de horas 0 5
Gramas da substância 1.000 700
Sabendo que o número de átomos de uma substância radioativa diminui exponencialmente com o tempo, quantos gramas da substância estarão presentes após 20 horas?

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo, que segue uma lei exponencial. Temos a massa inicial m(0)=1000 g e, após 5 h, m(5)=700 g. Vamos usar o modelo
m(t)=m_0 e^{-\lambda t},
onde m_0 é a massa inicial e \lambda é a constante de decaimento.

Passo 2

Para determinar \lambda, aplicamos o modelo em t=5 h:
700 = 1000\,e^{-5\lambda}.
Dividindo por 1000 obtemos
e^{-5\lambda} = 0,7.

Passo 3

Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-5\lambda = \ln(0,7) \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\frac{1}{5}\ln(0,7).

Passo 4

Queremos m(20). Pelo modelo,
m(20) = 1000\,e^{-20\lambda}.
Como e^{-5\lambda}=0,7, temos
e^{-20\lambda} = \bigl(e^{-5\lambda}\bigr)^4 = 0,7^4 = 0,2401.
Logo,
m(20) = 1000 \times 0,2401 = 240,1\text{ g}.

Resposta

Após 20 horas estarão presentes aproximadamente 240{,}1 gramas da substância.

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