Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=x^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^{2}e^{-x}
e pede que a gente encontre \frac{dy}{dx}.
O conteúdo necessário envolve a regra do produto para derivadas e a regra da cadeia para a derivada de e^{-x}.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto, que diz
\frac{d}{dx}\bigl(u\cdot v\bigr)=u'\,v + u\,v'
aqui com u=x^{2} e v=e^{-x}.
Então
u' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
v' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(-x)=-\,e^{-x}.
Substituindo na regra do produto:
\frac{dy}{dx} =2x\cdot e^{-x} + x^{2}\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) =2x\,e^{-x} - x^{2}e^{-x}.

Passo 3

Para simplificar, fatoramos e^{-x}:
\frac{dy}{dx} =e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr) =x\,e^{-x}\bigl(2 - x\bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} = e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr) = x\,e^{-x}\bigl(2 - x\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados