Determine todos os números x reais que satisfazem a equação dada.
e^{2 x}+e^{x}-2=0 (Sugestão: Faça u=e^{x}.)

Passo 1

O enunciado pede todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem
e^{2x}+e^{x}-2=0.
O conteúdo é resolução de equação exponencial e vamos usar a sugestão de substituir u=e^{x} para reduzir a um polinômio em u.

Passo 2

Fazendo u=e^{x}, observamos que e^{2x}=(e^{x})^2=u^2. Substituindo na equação original, obtemos
u^2 + \nu - 2 = 0.

Passo 3

Para resolver \,u^2 + u - 2 = 0\,, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
u = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} =\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} =\frac{-1 \pm 3}{2}.
Assim, as raízes são u=1 e u=-2.

Passo 4

Como definimos u=e^x, temos u>0. Portanto descartamos u=-2 e ficamos apenas com
u = 1.

Passo 5

Voltando à variável x, resolvemos
e^x = 1
o que implica
x = \ln(1) = 0.

Resposta

A única solução real é x = 0.

Exercícios de Livros Relacionados