Deduza as expressões que fornecem as bissetrizes internas sa, sb, sc de um triângulo em função dos lados a, b e c.

Passo 1

O enunciado pede as bissetrizes internas sa, sb e sc de um triângulo cujos lados opostos aos vértices A, B e C valem, respectivamente, a, b e c. Vamos usar o teorema da bissetriz (razão em que ela divide o lado oposto) e o teorema de Stewart para um ceviano.

Passo 2

Pela razão da bissetriz interna em A, o ponto D em BC satisfaz
BDDC=cb
Como BC=a, temos
BD=cb+c,a, DC=bb+c,a

Passo 3

Agora aplicamos o teorema de Stewart ao triângulo ABC com ceviano AD=sa. Sejam n=BD e m=DC. O teorema de Stewart diz
AB^2;m+AC^2;n =BCl(sa^2+m,nr)
Substituindo AB=c, AC=b, BC=a, m=tfracbb+ca e n=tfraccb+ca, obtemos
c^2cdotbb+c,a + b^2cdotcb+c,a = al(sa^2+tfracbb+cacdottfraccb+car)
O numerador do lado esquerdo é
al(c^2b+b^2cr)/(b+c) = a,b,c,b+cb+c = a,b,c,
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a,b,c = al(sa^2+a^2bc(b+c)^2r) Longrightarrow sa^2 = b,c-a^2b,c(b+c)^2 = b,cl(1-a^2(b+c)^2r)

Passo 4

Simplificando,
sa^2 = b,c;(b+c)^2-a^2(b+c)^2 Longrightarrow sa =raizb,cl((b+c)^2-a^2r)b+c
Pelos mesmos argumentos cíclicos, trocando (a,b,c) por (b,c,a) e por (c,a,b), deduzimos
sb=raizc,al((c+a)^2-b^2r)c+a, sc=raiza,bl((a+b)^2-c^2r)a+b

Resposta

sa=raizb,cl((b+c)^2-a^2r)b+c, sb=raizc,al((c+a)^2-b^2r)c+a, sc=raiza,bl((a+b)^2-c^2r)a+b

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