Defina curvatura, círculo de curvatura (círculo osculador), centro de curvatura e raio de curvatura de curvas duas vezes deriváveis no plano. Dê exemplos. Quais curvas têm curvatura zero? E curvatura constante?
Passo 1
O enunciado pede que a gente defina, para curvas duas vezes deriváveis no plano, os seguintes conceitos:
– curvatura;
– círculo de curvatura (ou osculador);
– centro de curvatura;
– raio de curvatura.
Também precisamos dar exemplos e responder quais curvas têm curvatura zero e quais têm curvatura constante.
Passo 2
Definimos uma curva suave no plano por um vetor posição \boldsymbol{r}(t) = (x(t),y(t)), com x,y duas vezes deriváveis e \dot x^2+\dot y^2\neq0. A curvatura \kappa mede “o quão rápido” a direção da reta tangente gira e vem dada por
O círculo de curvatura (ou osculador) em um ponto \boldsymbol{r}(t_0) é o círculo que melhor aproxima a curva naquele ponto, tendo:
– centro de curvatura
onde \boldsymbol{n}(t_0) é o versor normal unitário à curva;
– raio de curvatura
R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}.
Passo 4
Exemplos de cálculo de \kappa e do círculo osculador:
– Reta parametrizada por \boldsymbol{r}(t)=(at+b,\,ct+d). Aqui \ddot x=\ddot y=0 \Rightarrow \kappa=0. Não há círculo osculador (ou é de raio infinito).
– Círculo de raio R: \boldsymbol{r}(t)=(R\cos t,\,R\sin t). Então
\kappa=\frac1R,
o centro de curvatura é o próprio centro do círculo e R(t)=R.
– Parábola \boldsymbol{r}(t)=(t,\,t^2). Aqui \kappa(t)=\displaystyle\frac{2}{\bigl(1+4t^2\bigr)^{3/2}}, variável em t.
Passo 5
Curvas cuja curvatura é identicamente zero (\kappa\equiv0):
– retas (qualquer linha reta no plano).
Passo 6
Curvas de curvatura constante (\kappa(t)\equiv k_0):
– se k_0=0, são retas;
– se k_0>0, são círculos de raio R=1/k_0.