Defina curvatura, círculo de curvatura (círculo osculador), centro de curvatura e raio de curvatura de curvas duas vezes deriváveis no plano. Dê exemplos. Quais curvas têm curvatura zero? E curvatura constante?

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina, para curvas duas vezes deriváveis no plano, os seguintes conceitos:
– curvatura;
– círculo de curvatura (ou osculador);
– centro de curvatura;
– raio de curvatura.
Também precisamos dar exemplos e responder quais curvas têm curvatura zero e quais têm curvatura constante.

Passo 2

Definimos uma curva suave no plano por um vetor posição \boldsymbol{r}(t) = (x(t),y(t)), com x,y duas vezes deriváveis e \dot x^2+\dot y^2\neq0. A curvatura \kappa mede “o quão rápido” a direção da reta tangente gira e vem dada por
\kappa(t) = \frac{\bigl|\dot x(t)\,\ddot y(t)-\dot y(t)\,\ddot x(t)\bigr|} {\bigl(\dot x(t)^2+\dot y(t)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

O círculo de curvatura (ou osculador) em um ponto \boldsymbol{r}(t_0) é o círculo que melhor aproxima a curva naquele ponto, tendo:
– centro de curvatura
\boldsymbol{C}(t_0) = \boldsymbol{r}(t_0) +\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\boldsymbol{n}(t_0),
onde \boldsymbol{n}(t_0) é o versor normal unitário à curva;
– raio de curvatura
R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}.

Passo 4

Exemplos de cálculo de \kappa e do círculo osculador:
– Reta parametrizada por \boldsymbol{r}(t)=(at+b,\,ct+d). Aqui \ddot x=\ddot y=0 \Rightarrow \kappa=0. Não há círculo osculador (ou é de raio infinito).
– Círculo de raio R: \boldsymbol{r}(t)=(R\cos t,\,R\sin t). Então
\kappa=\frac1R,
o centro de curvatura é o próprio centro do círculo e R(t)=R.
– Parábola \boldsymbol{r}(t)=(t,\,t^2). Aqui \kappa(t)=\displaystyle\frac{2}{\bigl(1+4t^2\bigr)^{3/2}}, variável em t.

Passo 5

Curvas cuja curvatura é identicamente zero ( \kappa\equiv0):
– retas (qualquer linha reta no plano).

Passo 6

Curvas de curvatura constante ( \kappa(t)\equiv k_0):
– se k_0=0, são retas;
– se k_0>0, são círculos de raio R=1/k_0.

Resposta

Definições:
– Curvatura em \boldsymbol{r}(t):
\kappa(t) = \frac{\bigl|\dot x\,\ddot y-\dot y\,\ddot x\bigr|} {\bigl(\dot x^2+\dot y^2\bigr)^{3/2}}.
– Círculo de curvatura (osculador) em t_0: círculo de raio
R(t_0)=\frac1{\kappa(t_0)}
e centro
\boldsymbol{C}(t_0) = \boldsymbol{r}(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\boldsymbol{n}(t_0).
Exemplos:
– Reta \kappa=0 (raio infinito).
– Círculo de raio R: \kappa=1/R, R(t)=R.
– Parábola (t,t^2): \kappa(t)=2/(1+4t^2)^{3/2}.
Curvas com \kappa=0: retas.
Curvas com \kappa constante:
\kappa=0: retas;
\kappa>0: círculos de raio 1/\kappa.

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