Encontre as raízes da função algebricamente.
f(x)=5 x^{3}-5 x^{2}-10 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=5x^{3}-5x^{2}-10x
e pede as suas raízes, ou seja, os valores de x tais que f(x)=0. O conteúdo que vamos usar é fatoração de polinômio e resolução de equação do segundo grau.

Passo 2

Para começar, extraímos o fator comum de todos os termos, que é 5x. Assim,
f(x)=5x^{3}-5x^{2}-10x
pode ser reescrita como
f(x)=5x\,(x^{2}-x-2).

Passo 3

Agora fatoramos o trinômio x^{2}-x-2. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e cuja soma seja -1. Esses números são -2 e +1. Logo,
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Assim, a fatoração completa de f(x) é
f(x)=5x\,(x-2)(x+1).

Passo 4

As raízes são os valores de x que anulem cada fator:
5x=0\implies x=0,
x-2=0\implies x=2,
x+1=0\implies x=-1.

Resposta

As raízes de f(x) são
x=-1,\quad x=0,\quad x=2.

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