Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=2 x^{4}-5 x^{3}-17 x^{2}+14 x+41

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=2x^{4}-5x^{3}-17x^{2}+14x+41
mostrando suas raízes e extremos, e também a descrição do comportamento para x\to\pm\infty.
Para isso vamos calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos, usar a derivada segunda para classificá-los, resolver f(x)=0 para as raízes e analisar o termo dominante para o comportamento nos extremos do domínio.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}-5x^{3}-17x^{2}+14x+41\bigr) =8x^{3}-15x^{2}-34x+14.
Resolvendo numericamente f'(x)=0 por busca de sinais, obtemos três raízes aproximadas
x_{1}\approx -1,56,\quad x_{2}\approx 0,37,\quad x_{3}\approx 3,08.

Passo 3

A derivada segunda é
f''(x)=\frac{d}{dx}(8x^{3}-15x^{2}-34x+14) =24x^{2}-30x-34.
Avaliamo-la em cada ponto crítico:
f''(x_{1})>0,\quad f''(x_{2})<0,\quad f''(x_{3})>0.
Logo x_{1} e x_{3} são mínimos locais e x_{2} é máximo local.

Passo 4

Calculamos f nesses pontos:
f(x_{1})\approx 8,6,\quad f(x_{2})\approx 43,6,\quad f(x_{3})\approx -42,8.

Passo 5

Agora as raízes reais de f(x)=0. Pelo sinal de f em pontos estratégicos e interpolação encontramos duas raízes
x\approx 1,86 \quad\text{e}\quad x\approx 3,88.
Não há raízes para x<0 pois f(x)>0 nesse intervalo.

Passo 6

O termo dominante é 2x^{4} com coeficiente positivo, então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

Passo 7

Juntando tudo:
– Para x\to-\infty f(x) começa em +\infty, desce até o mínimo em \bigl(-1,56;8,6\bigr),
– sobe até o máximo em \bigl(0,37;43,6\bigr),
– desce cruzando o eixo x em x\approx1,86 até o segundo mínimo em \bigl(3,08;-42,8\bigr),
– e depois sobe novamente cruzando o eixo em x\approx3,88 indo para +\infty.
Esse é o esboço qualitativo do gráfico de f.

Resposta

Esboço do gráfico:
  • Pontos críticos: mínimo em (-1,56,8,6), máximo em (0,37,43,6), mínimo em (3,08,-42,8).
  • Raízes: x\approx1,86 e x\approx3,88.
  • Comportamento nos extremos: f(x)\to+\infty tanto para x\to-\infty quanto para x\to+\infty.

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