Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
mostrando suas raízes e extremos, e também a descrição do comportamento para
.
Para isso vamos calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos, usar a derivada segunda para classificá-los, resolver para as raízes e analisar o termo dominante para o comportamento nos extremos do domínio.
Para isso vamos calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos, usar a derivada segunda para classificá-los, resolver
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Resolvendo numericamente
por busca de sinais, obtemos três raízes aproximadas
Passo 3
A derivada segunda é
Avaliamo-la em cada ponto crítico:
Logo
e
são mínimos locais e
é máximo local.
Passo 4
Calculamos
nesses pontos:
Passo 5
Agora as raízes reais de
. Pelo sinal de
em pontos estratégicos e interpolação encontramos duas raízes
Não há raízes para
pois
nesse intervalo.
Passo 6
O termo dominante é
com coeficiente positivo, então
Passo 7
Juntando tudo:
– Para
começa em
, desce até o mínimo em
,
– sobe até o máximo em ,
– desce cruzando o eixo em
até o segundo mínimo em
,
– e depois sobe novamente cruzando o eixo em indo para
.
– Para
– sobe até o máximo em
– desce cruzando o eixo
– e depois sobe novamente cruzando o eixo em
Esse é o esboço qualitativo do gráfico de
.
Resposta
Esboço do gráfico:
- Pontos críticos: mínimo em
, máximo em , mínimo em . - Raízes:
e . - Comportamento nos extremos:
tanto para quanto para .