Descreva o comportamento da função polinomial nos extremos do domínio usando \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).
f(x)=3 x^{4}-5 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para descrever o comportamento de
f(x)=3x^{4}-5x^{2}+3
nos extremos do domínio, ou seja, calcular
\lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x).
O conteúdo aqui é “fase de crescimento” de polinômios, que é determinado pelo termo de maior grau.

Passo 2

Identificamos o termo dominante de f(x), que é 3x^{4}. Em polinômios, quando \lvert x\rvert é muito grande, os termos de grau menor tornam-se ínfimos em comparação ao termo de maior grau.

Passo 3

Para x\to+\infty, temos
x^{4}\to+\infty
e portanto
3x^{4}\to+\infty.
Assim,
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(3x^{4}-5x^{2}+3\bigr) =\lim_{x\to+\infty}3x^{4} =+\infty.

Passo 4

Para x\to-\infty, como x^{4} também cresce positivamente (pois o expoente é par), obtemos
x^{4}\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad 3x^{4}\to+\infty,
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\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}3x^{4} =+\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty

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