2.5.22 Um potencial vetor magnético é dado por
\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^{3}} .
Mostre que isso leva à indução magnética \mathbf{B} de um dipolo magnético pontual com momento dipolar m.
\begin{aligned} \text { RESP. para } \mathbf{m} & =\hat{\mathbf{z}} m \\\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} & =\hat{\mathbf{r}} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 m \cos \theta}{r^{3}}+\hat{\boldsymbol{\theta}} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m \operatorname{sen} \theta}{r^{3}} . \end{aligned}
Compare com as Equações (12.133) e (12.134)

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor
\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}}
e pede para mostrar que
\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}
é o campo magnético de um dipolo pontual, isto é
\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\bigl[3(\mathbf{m}\!\cdot\!\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}\bigr].
Para isso usaremos identidades de cálculo vetorial e a propriedade de \nabla^{2}(1/r).

Passo 2

Reescrevemos \mathbf{A} como produto vetorial envolvendo \nabla(1/r). De fato,
\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}} = \mathbf{m}\times\nabla\!\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr),
pois \nabla(1/r)=-\mathbf{r}/r^{3}. Logo
\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\mathbf{m}\times\nabla\!\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade do rotacional de um produto vetorial: para vetor constante \mathbf{m} e campo \mathbf{a}=\nabla(1/r),
\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{a}) = \mathbf{m}\,(\nabla\!\cdot\!\mathbf{a}) - (\mathbf{m}\!\cdot\!\nabla)\,\mathbf{a},
já que \nabla\!\cdot\!\mathbf{m}=0 e (\mathbf{a}\!\cdot\!\nabla)\mathbf{m}=0.

Passo 4

Note que
\nabla\!\cdot\!\mathbf{a} =\nabla^{2}\!\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr) =0 \quad(\text{fora da origem})
e que
(\mathbf{m}\!\cdot\!\nabla)\,\mathbf{a} =(\mathbf{m}\!\cdot\!\nabla)\nabla\!\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr) =\frac{3(\mathbf{m}\!\cdot\!\mathbf{r})\,\mathbf{r}-r^{2}\mathbf{m}}{r^{5}}.
Assim,
\nabla\times(\mathbf{m}\times\nabla\tfrac1r) =-(\mathbf{m}\!\cdot\!\nabla)\,\mathbf{a} =-\frac{3(\mathbf{m}\!\cdot\!\mathbf{r})\,\mathbf{r}-r^{2}\mathbf{m}}{r^{5}}.

Passo 5

Finalmente,
\mathbf{B} =\nabla\times\mathbf{A} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\nabla\times\bigl(\mathbf{m}\times\nabla\tfrac1r\bigr) =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\, \frac{3(\mathbf{m}\!\cdot\!\mathbf{r})\,\mathbf{r}-r^{2}\mathbf{m}}{r^{5}} =\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\Bigl[3(\mathbf{m}\!\cdot\!\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}\Bigr].

Passo 6

Para o caso \mathbf{m}=m\,\hat{\mathbf{z}} temos \mathbf{m}\!\cdot\!\hat{\mathbf{r}}=m\cos\theta. Logo no sistema esférico
\mathbf{B} =\frac{\mu_{0}m}{4\pi r^{3}}\bigl(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}+\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\bigr),
que coincide com as Equações (12.133) e (12.134) do livro.

Resposta

\mathbf{B} =\nabla\times\mathbf{A} =\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\bigl[3(\mathbf{m}\!\cdot\!\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}\bigr],
e, para \mathbf{m}=m\,\hat{\mathbf{z}},
\mathbf{B} =\hat{\mathbf{r}}\,\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^{3}} +\hat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^{3}}.

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