2.5.22 Um potencial vetor magnético é dado por
A=mu04 pi m times rr^3
Mostre que isso leva à indução magnética B de um dipolo magnético pontual com momento dipolar m.
RESP para m & =z m nabla times A & =r mu04 pi 2 m cos thetar^3+theta mu04 pi m sen thetar^3
Compare com as Equações (12.133) e (12.134)

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor
A = mu04pi,mtimesrr^3
e pede para mostrar que
B = nablatimesA
é o campo magnético de um dipolo pontual, isto é
B(r) =mu04pi r^3l[3(m!cdot!r),r-mr]
Para isso usaremos identidades de cálculo vetorial e a propriedade de nabla^2(1/r).

Passo 2

Reescrevemos A como produto vetorial envolvendo nabla(1/r). De fato,
mtimesrr^3 = mtimesnabla!l(tfrac1rr),
pois nabla(1/r)=-r/r^3. Logo
A = mu04pi,mtimesnabla!l(tfrac1rr)

Passo 3

Aplicamos a identidade do rotacional de um produto vetorial: para vetor constante m e campo a=nabla(1/r),
nablatimes(mtimesa) = m,(nabla!cdot!a) - (m!cdot!nabla),a,
já que nabla!cdot!m=0 e (a!cdot!nabla)m=0.

Passo 4

Note que
nabla!cdot!a =nabla^2!l(tfrac1rr) =0 (fora da ori>=m)
e que
(m!cdot!nabla),a =(m!cdot!nabla)nabla!l(tfrac1rr) =3(m!cdot!r),r-r^2mr^5
Assim,
nablatimes(mtimesnablatfrac1r) =-(m!cdot!nabla),a =-3(m!cdot!r),r-r^2mr^5

Passo 5

Finalmente,
B =nablatimesA =mu04pi,nablatimesl(mtimesnablatfrac1rr) =mu04pi, 3(m!cdot!r),r-r^2mr^5 =mu04pi r^3l[3(m!cdot!r),r-mr]

Passo 6

Para o caso m=m,z temos m!cdot!r=mcostheta. Logo no sistema esférico
B =mu0m4pi r^3l(2costheta,r+sintheta,thetar),
que coincide com as Equações (12.133) e (12.134) do livro.

Resposta

B =nablatimesA =mu04pi r^3l[3(m!cdot!r),r-mr],
e, para m=m,z,
B =r,mu04pi,2mcosthetar^3 +theta,mu04pi,msinthetar^3

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