2.5.25 (a) Explique por que nabla^2 em coordenadas polares planas resulta de nabla^2 em coordenadas cilíndricas circulares com z= constante.
(b) Explique por que usar nabla^2 em coordenadas polares esféricas e restringir theta a pi / 2 não leva à forma polar plana de nabla.
Nota:
nabla^2(rho, varphi)=partial^2partial rho^2+1rho partialpartial rho+1rho^2 partial^2partial varphi^2

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas restrições do laplaciano em 3D e mostrar por que apenas a de coordenadas cilíndricas leva à forma polar plana. Em coordenadas polares planas usamos
nabla^2(rho,varphi) =partial^2partial rho^2 +1rhopartialpartial rho +1rho^2partial^2partial varphi^2,
Vamos ver de onde isso vem em cada caso.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (rho,varphi,z) o laplaciano 3D é
nabla^2 =partial^2partial rho^2 +1rhopartialpartial rho +1rho^2partial^2partial varphi^2 +partial^2partial z^2
Se fixamos z= constante, então partial/partial z=0 e partial^2/partial z^2=0. Logo sobra exatamente
nabla^2(rho,varphi) =partial^2partial rho^2 +1rhopartialpartial rho +1rho^2partial^2partial varphi^2,
que é a forma polar plana.

Passo 3

Em coordenadas esféricas (r,theta,varphi) o laplaciano 3D é
nabla^2 =1r^2partialpartial r!l(r^2partialpartial rr) +1r^2sinthetapartialpartial theta!l(sintheta,partialpartial thetar) +1r^2sin^2thetapartial^2partial varphi^2
Se simplesmente impomos theta=pi/2, temos sintheta=1, mas o termo radial torna-se
1r^2partialpartial r!l(r^2tfracpartialpartial rr) =partial^2partial r^2 +2rpartialpartial r,
e não
partial^2/partial r^2+ (1/r),partial/partial r. Portanto não coincide com o laplaciano polar plano.

Passo 4

Geométricamente, em cilíndricas fixar z é restringir ao plano (rho,varphi), preservando a métrica plana nessa superfície. Já em esféricas fixar theta=pi/2 nos leva ao “círculo do equador” que, embora seja de dimensão 2, mantém uma curvatura intrínseca diferente de um plano, daí o coeficiente 2/r no termo radial.

Resposta

(a) Porque em coordenadas cilíndricas basta anular partial^2/partial z^2 para obter o laplaciano polar plano.
(b) Porque em coordenadas esféricas a restrição theta=pi/2 deixa um termo radial com coeficiente 2/r, não 1/r, de modo que a forma não reduz à do plano polar.

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