2.5.25 (a) Explique por que \boldsymbol{\nabla}^{2} em coordenadas polares planas resulta de \boldsymbol{\nabla}^{2} em coordenadas cilíndricas circulares com z= constante.
(b) Explique por que usar \nabla^{2} em coordenadas polares esféricas e restringir \theta a \pi / 2 não leva à forma polar plana de \boldsymbol{\nabla}.
Nota:
\nabla^{2}(\rho, \varphi)=\frac{\partial^{2}}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas restrições do laplaciano em 3D e mostrar por que apenas a de coordenadas cilíndricas leva à forma polar plana. Em coordenadas polares planas usamos
\nabla^{2}(\rho,\varphi) =\frac{\partial^{2}}{\partial \rho^{2}} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\,.
Vamos ver de onde isso vem em cada caso.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) o laplaciano 3D é
\nabla^{2} =\frac{\partial^{2}}{\partial \rho^{2}} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} +\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}.
Se fixamos z= constante, então \partial/\partial z=0 e \partial^{2}/\partial z^{2}=0. Logo sobra exatamente
\nabla^{2}(\rho,\varphi) =\frac{\partial^{2}}{\partial \rho^{2}} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}},
que é a forma polar plana.

Passo 3

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) o laplaciano 3D é
\nabla^{2} =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigr) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Bigl(\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial \theta}\Bigr) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}.
Se simplesmente impomos \theta=\pi/2, temos \sin\theta=1, mas o termo radial torna-se
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}\tfrac{\partial}{\partial r}\bigr) =\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r},
e não
\partial^{2}/\partial r^{2}+ (1/r)\,\partial/\partial r. Portanto não coincide com o laplaciano polar plano.

Passo 4

Geométricamente, em cilíndricas fixar z é restringir ao plano (\rho,\varphi), preservando a métrica plana nessa superfície. Já em esféricas fixar \theta=\pi/2 nos leva ao “círculo do equador” que, embora seja de dimensão 2, mantém uma curvatura intrínseca diferente de um plano, daí o coeficiente 2/r no termo radial.

Resposta

(a) Porque em coordenadas cilíndricas basta anular \partial^2/\partial z^2 para obter o laplaciano polar plano.
(b) Porque em coordenadas esféricas a restrição \theta=\pi/2 deixa um termo radial com coeficiente 2/r, não 1/r, de modo que a forma não reduz à do plano polar.

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