2.5.25 (a) Explique por que
em coordenadas polares planas resulta de
em coordenadas cilíndricas circulares com
constante.
(b) Explique por que usar
em coordenadas polares esféricas e restringir
a
não leva à forma polar plana de
.
Nota:
(b) Explique por que usar
Passo 1
O enunciado pede para comparar duas restrições do laplaciano em 3D e mostrar por que apenas a de coordenadas cilíndricas leva à forma polar plana. Em coordenadas polares planas usamos
Vamos ver de onde isso vem em cada caso.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
o laplaciano 3D é
Se fixamos
constante, então
e
. Logo sobra exatamente
que é a forma polar plana.
Passo 3
Em coordenadas esféricas
o laplaciano 3D é
Se simplesmente impomos
, temos
, mas o termo radial torna-se
e não
. Portanto não coincide com o laplaciano polar plano.
Passo 4
Geométricamente, em cilíndricas fixar
é restringir ao plano
, preservando a métrica plana nessa superfície. Já em esféricas fixar
nos leva ao “círculo do equador” que, embora seja de dimensão 2, mantém uma curvatura intrínseca diferente de um plano, daí o coeficiente
no termo radial.
Resposta
(a) Porque em coordenadas cilíndricas basta anular
para obter o laplaciano polar plano.
(b) Porque em coordenadas esféricas a restrição deixa um termo radial com coeficiente
, não
, de modo que a forma não reduz à do plano polar.
(b) Porque em coordenadas esféricas a restrição