Definindo a potência média de ordem zero de a, b, como a^theta b 1-t, mostrar que a desigualdade de Jensen se aplica a êste caso, vindo ( a neq b ) a^theta b^1-theta<[theta a^q+(1-theta) b^sigma]^1 / q, conforme seja q>0.
Para q=1, a^theta b^1-theta <=q theta a+(1-theta) b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a,b>0, aneq b, thetain(0,1) e q>0, vale a desigualdade
a^thetab^1-theta < l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q
Ainda, no caso q=1, devemos obter
a^thetab^1-theta<= theta,a+(1-theta),b
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de Jensen para funções convexas.

Passo 2

Lembremos a desigualdade de Jensen para uma função convexa varphi: se varphi é convexa em R e thetain[0,1], então para quaisquer x,yinR
varphil(theta x+(1-theta)yr) ;<=; theta,varphi(x)+(1-theta),varphi(y),
com igualdade somente se x=y (quando varphi é estritamente convexa).

Passo 3

Escolhemos
varphi(x)=e^x,
que é estritamente convexa pois varphi''(x)=e^x>0 para todo x. Definimos
x=lnl(a^qr)=qln a, y=lnl(b^qr)=qln b
Então
theta x+(1-theta)y = ql(thetaln a+(1-theta)ln br) = ln!l(a^qthetab^q(1-theta)r)
Aplicando Jensen:
varphil(theta x+(1-theta)yr) ;<=; theta,varphi(x)+(1-theta),varphi(y)
fica
e^ln!l(a^qthetab^q(1-theta)r) ;<=; theta,e^ln(a^q)+(1-theta),e^ln(b^q),
ou seja
a^qthetab^q(1-theta) ;<=; theta,a^q+(1-theta),b^q

Passo 4

Como aneq b implica xneq y, a convexidade estrita de varphi assegura que a desigualdade acima é estrita:
a^qthetab^q(1-theta) < theta,a^q+(1-theta),b^q

Passo 5

Bast a elevar ambos os lados a 1/q, sabendo que tmapsto t^1/q é estritamente crescente para q>0. Obtemos
l(a^qthetab^q(1-theta)r)^1/q < l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q,
ou seja
a^thetab^1-theta < l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q

Passo 6

No caso especial q=1 esta mesma dedução dá
a^thetab^1-theta <= theta,a+(1-theta),b,
que é justamente a desigualdade geométrica–aritmética ponderada.

Resposta

a^thetab^1-theta < l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q, q>0, e para q=1 a^thetab^1-theta<=theta,a+(1-theta),b

Exercícios de Livros Relacionados