Definindo a potência média de ordem zero de
, como
, mostrar que a desigualdade de Jensen se aplica a êste caso, vindo (
)
, conforme seja
.
Para
,
.
Para
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para
,
,
e
, vale a desigualdade
Ainda, no caso
, devemos obter
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de Jensen para funções convexas.
Passo 2
Lembremos a desigualdade de Jensen para uma função convexa
: se
é convexa em
e
, então para quaisquer
com igualdade somente se
(quando
é estritamente convexa).
Passo 3
Escolhemos
que é estritamente convexa pois
para todo
. Definimos
Então
Aplicando Jensen:
fica
ou seja
Passo 4
Como
implica
, a convexidade estrita de
assegura que a desigualdade acima é estrita:
Passo 5
Bast a elevar ambos os lados a
, sabendo que
é estritamente crescente para
. Obtemos
ou seja
Passo 6
No caso especial
esta mesma dedução dá
que é justamente a desigualdade geométrica–aritmética ponderada.