• Mostrar 'que a série Sigma cos v xv^2, alpha>0, converge uniformemente para epsilon <=q x <=q 2 pi-epsilon.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de funções
sumv=1^infty cos(vx)v^2
converge uniformemente no intervalo epsilon <= x <= 2pi-epsilon, com epsilon>0. O conteúdo chave será o teste de Dirichlet para séries de funções, que exige estimar uniformemente as somas parciais de cos(vx).

Passo 2

O teste de Dirichlet afirma que, se
  1. (av)v>=1 é uma sequência real positiva, monotona decrescente e com limvtoinftyav=0,
  2. as somas parciais
BN(x)=sumv=1^N bv(x)
de outra sequência de funções bv(x) são uniformemente limitadas por alguma constante M,
então a série sumv=1^infty av,bv(x) converge uniformemente.

Passo 3

Tomamos
av = 1v^2, bv(x)=cos(vx)
Claramente av>0, é decrescente em v e limvtoinftyav=0. As somas parciais de bv são
BN(x)=sumv=1^Ncos(vx) =sin!l(tfracN x2r),cos!l(tfrac(N+1)x2r)sin!l(tfracx2r)
Para xin[epsilon,2pi-epsilon] temos l|sin(x/2)r|>=sin(epsilon/2)>0, logo
l|BN(x)r|<=1sin(epsilon/2) para todo (N) e todo (x) no intervalo

Passo 4

As condições do teste de Dirichlet estão satisfeitas: av decresce a zero e BN(x) está uniformemente limitado. Portanto
sumv=1^infty cos(vx)v^2
converge uniformemente em [epsilon,2pi-epsilon].

Resposta

A série sumv=1^infty cos(vx)v^2 converge uniformemente para epsilon <= x <= 2pi - epsilon.

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