Mostrar 'que a série , converge uniformemente para .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série de funções
converge uniformemente no intervalo , com . O conteúdo chave será o teste de Dirichlet para séries de funções, que exige estimar uniformemente as somas parciais de .
Passo 2
O teste de Dirichlet afirma que, se
é uma sequência real positiva, monotona decrescente e com ,
as somas parciais
de outra sequência de funções são uniformemente limitadas por alguma constante ,
então a série converge uniformemente.
Passo 3
Tomamos
Claramente , é decrescente em e . As somas parciais de são
Para temos , logo
l|BN(x)r|<=1sin(epsilon/2) para todo (N) e todo (x) no intervalo
Passo 4
As condições do teste de Dirichlet estão satisfeitas: av decresce a zero e BN(x) está uniformemente limitado. Portanto
sumv=1^infty cos(vx)v^2
converge uniformemente em [epsilon,2pi-epsilon].
Resposta
A série sumv=1^infty cos(vx)v^2 converge uniformemente para epsilon <= x <= 2pi - epsilon.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 199