• Por comparação com a série sumnu=1^infty 1nu^alpha, demonstrar o seguinte critério:
Se log (1 /|an|)log n>1+epsilon para qualquer valor suficientemente grande de n, a série Sigma anu possuirá convergência absoluta; se log (1 /|an|)log n<1-epsilon para qualquer valor suficientemente grande de n, a série Sigma anu não terá convergência absoluta.

Passo 1

O enunciado pede para usar comparação com a série–p
sumnu=1^infty 1nu^alpha
para mostrar o critério:
  • Se
logl(1/|an|r)log n>1+epsilon
para n grande, então sum anu converge absolutamente.
  • Se
logl(1/|an|r)log n<1-epsilon
para n grande, então sum anu não converge absolutamente.
Vamos reescrever cada hipótese em termos de desigualdades entre |an| e potências de n e depois aplicar o teste de comparação com séries–p.

Passo 2

Suponha que para todo n suficientemente grande
logl(1/|an|r)log n>1+epsilon
Multiplicando por log n>0
logl(1/|an|r)>(1+epsilon),log n
e, exponenciando,
1|an|>n^1+epsilon Longrightarrow |an|<1n^1+epsilon
Como epsilon>0, a série
sumn=1^infty 1n^1+epsilon
é convergente (série–p com expoente >1). Pelo teste de comparação, segue que
sum |an| converge, ou seja, sum an converge absolutamente.

Passo 3

Agora suponha que para todo n suficientemente grande
logl(1/|an|r)log n<1-epsilon
De modo análogo,
logl(1/|an|r)<(1-epsilon),log n Longrightarrow 1|an|<n^1-epsilon Longrightarrow |an|>1n^1-epsilon
Aqui 1-epsilon<1, logo a série
sumn=1^infty 1n^1-epsilon
é divergente (série–p com expoente <=1). Pelo teste de comparação inversa,
sum |an| diverge, ou seja, sum an não converge absolutamente.

Resposta

O critério fica comprovado:
  • Se log(1/|an|)log n>1+epsilon para n grande, então sum an converge absolutamente.
  • Se log(1/|an|)log n<1-epsilon para n grande, então sum an não converge absolutamente.

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