- Por comparação com a série
, demonstrar o seguinte critério:
Se
para qualquer valor suficientemente grande de
, a série
possuirá convergência absoluta; se
para qualquer valor suficientemente grande de
, a série
não terá convergência absoluta.
Passo 1
O enunciado pede para usar comparação com a série–p
para mostrar o critério:
- Se
para
grande, então
converge absolutamente.
- Se
para
grande, então
não converge absolutamente.
Vamos reescrever cada hipótese em termos de desigualdades entre
e potências de
e depois aplicar o teste de comparação com séries–p.
Passo 2
Suponha que para todo
suficientemente grande
Multiplicando por
dá
e, exponenciando,
Como
, a série
é convergente (série–p com expoente
). Pelo teste de comparação, segue que
converge, ou seja,
converge absolutamente.
Passo 3
Agora suponha que para todo
suficientemente grande
De modo análogo,
Aqui
, logo a série
é divergente (série–p com expoente
). Pelo teste de comparação inversa,
diverge, ou seja,
não converge absolutamente.
Resposta
O critério fica comprovado:
- Se
para grande, então converge absolutamente. - Se
para grande, então não converge absolutamente.