Para quais valore de x se verificam as seguintes desigualdades?
|x+1x| >=q 6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
l|,x+1xr|>= 6,
onde o domínio é xin Rsetminus0.
O conteúdo envolve manipular o módulo e resolver as duas desigualdades resultantes:
;x+tfrac1x>=6; e ;x+tfrac1x<= -6.

Passo 2

Pela definição de valor absoluto,
l|,x+1xr|>=6 Long<=ftrightarrow x+1x>=6 ou x+1x<= -6

Passo 3

Resolver x+1x>=6.
Nesse caso devemos ter xneq0 e, para multiplicar por x, dividimos em dois subcasos:
(a) Se x>0, multiplicamos por x sem trocar o sinal:
x^2+1>=6x Longrightarrow x^2-6x+1>=0
As raízes da equação x^2-6x+1=0 são
x=6pmraiz36-42=3pm2raiz2
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e
x^2-6x+1>=0 Longrightarrow x<=3-2raiz2 ou x>=3+2raiz2
Juntando com x>0, obtemos
0<x<=3-2raiz2 ou x>=3+2raiz2
(b) Se x<0, multiplicar por x inverte o sinal da desigualdade, mas esse caso será analisado no Passo 4, onde tratamos x+tfrac1x<=-6.

Passo 4

Resolver x+1x<=-6.
Agora, para multiplicar por x, sabemos que xneq0 e que, se x>0, não faz sentido ter soma menor que -6 (pois x+1/x>0). Logo precisamos de x<0. Multiplicando por x<0 invertemos o sinal:
x^2+1>=-6x Longrightarrow x^2+6x+1>=0
As raízes de x^2+6x+1=0 são
x=-6pmraiz36-42=-3pm2raiz2
Novamente a parábola abre para cima, então
x^2+6x+1>=0 Longrightarrow x<=-3-2raiz2 ou x>=-3+2raiz2
Como precisamos de x<0, ficamos com
x<=-3-2raiz2 ou -3+2raiz2<= x<0

Passo 5

Juntando as soluções dos dois casos e lembrando que xneq0, a solução geral é
l(-infty,,-3-2raiz2r];cup;l[-3+2raiz2,,0r);cup;l(0,,3-2raiz2r];cup;l[3+2raiz2,,+inftyr)

Resposta

xin(-infty,-3-2raiz2];cup;[-3+2raiz2,0);cup;(0,3-2raiz2];cup;[3+2raiz2,infty)

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