Esboçando triângulos, reescreva as expressões abaixo em função de x.
d) tan (arcsen(1-x))

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em função de x a expressão tanl(arcsin(1 - x)r). Vamos usar a definição de arco-seno e a relação trigonométrica num triângulo retângulo para expressar seno, cosseno e, por fim, a tangente em termos de x.

Passo 2

Defina
theta = arcsin(1 - x)
Por definição de arco-seno temos
sintheta = 1 - x,
e como thetain[-tfracpi2,tfracpi2], o cosseno de theta será não negativo.

Passo 3

Num triângulo retângulo correspondente a theta, tomamos:
– cateto oposto a theta: 1 - x,
– hipotenusa: 1.
Pelo teorema de Pitágoras o cateto adjacente a theta é
raiz1 - (1 - x)^2

Passo 4

Agora usamos a definição de tangente:
tantheta = sinthetacostheta =1 - xraiz1 - (1 - x)^2
Substituindo theta=arcsin(1-x), fica
tanl(arcsin(1 - x)r) =1 - xraiz1 - (1 - x)^2

Passo 5

Basta simplificar o radicando:
1 - (1 - x)^2 =1 - l(1 - 2x + x^2r) =2x - x^2 =x(2 - x)
Portanto
tanl(arcsin(1 - x)r) =1 - xraizx(2 - x)

Resposta

tanl(arcsin(1 - x)r) =1 - xraizx(2 - x)

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