Mostrar que o coeficiente de
no desenvolvimento binomial de
é dado assintòticamente por
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar a expansão em série de potências de
e mostrar que o coeficiente
de
nessa expansão satisfaz, para
grande,
O que vamos precisar é (1) o Teorema Binomial Generalizado para expoente
e (2) a fórmula de Stirling para fatoriais.
Passo 2
Pelo Teorema Binomial Generalizado temos
Usando a definição de coeficiente binomial com expoente negativo
e simplificando o sinal
, obtém-se a forma bem conhecida
Passo 3
Para estudar o comportamento de
quando
, usamos a aproximação de Stirling
Passo 4
Substituindo em
temos
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Resposta
O coeficiente de
em
satisfaz