Mostrar que o coeficiente de x^a no desenvolvimento binomial de 1raiz1-x é dado assintòticamente por 1raizpi n.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a expansão em série de potências de
1raiz1 - x = (1 - x)^-tfrac12
e mostrar que o coeficiente cn de x^n nessa expansão satisfaz, para n grande,
cnsim 1raizpi,n
O que vamos precisar é (1) o Teorema Binomial Generalizado para expoente -tfrac12 e (2) a fórmula de Stirling para fatoriais.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial Generalizado temos
(1 - x)^-tfrac12 =sumn=0^inftybinom-tfrac12n(-x)^n
Usando a definição de coeficiente binomial com expoente negativo
binom-tfrac12n =l(-tfrac12r)l(-tfrac12-1r)cdotsl(-tfrac12-n+1r)n!,
e simplificando o sinal (-1)^n, obtém-se a forma bem conhecida
cn =binom-tfrac12n(-1)^n =(2n)!4^,n,(n!)^2 =14^,nbinom2nn

Passo 3

Para estudar o comportamento de binom2nn quando ntoinfty, usamos a aproximação de Stirling
n!sim raiz2pi n,l(n/er)^n, (2n)!sim raiz4pi n,l(2n/er)^2n

Passo 4

Substituindo em binom2nn=(2n)!/(n!)^2 temos
binom2nn sim raiz4pi n,(2n/e)^2n l(raiz2pi n,(n/e)^nr)^2 = 2raizpi n,(2n/e)^2n 2pi n,(n/e)^2n = 4^,nraizpi n
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cn =14^,nbinom2nn sim 14^,ncdot4^,nraizpi n =1raizpi n

Resposta

O coeficiente de x^n em (1 - x)^-1/2 satisfaz
cnsim 1raizpi n

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