Empregando o critúrio de convergência de Cauchy, mostrar que as seqü̂́ucias abaixo convergem:
  • an=1+11!+12!+ldots+1n!.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 1 + 11! + 12! + cdots + 1n!,
e pede para mostrar que an converge usando o critério de Cauchy.
Lembrando que a definição de sequência de Cauchy é: dado varepsilon>0, existe N tal que, para todos m,n>= N,
l|am - anr| < varepsilon

Passo 2

Tomemos m>n. Então
l|am - anr| = sumk=n+1^m1k!
Para provar o critério de Cauchy, basta mostrar que essa soma pode ser tornada arbitrariamente pequena, escolhendo n grande.

Passo 3

Para k>= n+1 notamos que
k! = (n+1)!,l((n+2)(n+3)cdots kr) >= (n+1)!,2^,k-(n+1),
porque cada fator (n+j)>=2 para j>=2. Assim
1k!<= 1(n+1)!,2^,k-(n+1)

Passo 4

Logo a “cauda” da soma satisfaz
sumk=n+1^m1k! <= sumk=n+1^infty1(n+1)!,2^,k-(n+1) = 1(n+1)!sumj=0^infty12^j = 2(n+1)!
Dado varepsilon>0, basta escolher N tal que
2(N+1)! < varepsilon
Então, para todo m,n>= N,
l|am - anr|<= 2/(N+1)!<varepsilon. Isto mostra que an é de Cauchy.

Resposta

A sequência an=1+11!+cdots+1n! satisfaz o critério de Cauchy e, portanto, converge.

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