Empregando o critúrio de convergência de Cauchy, mostrar que as seqü̂́ucias abaixo convergem:
-
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que
converge usando o critério de Cauchy.
Lembrando que a definição de sequência de Cauchy é: dado , existe
tal que, para todos
,
Lembrando que a definição de sequência de Cauchy é: dado
Passo 2
Tomemos
m>n . Então
Para provar o critério de Cauchy, basta mostrar que essa soma pode ser tornada arbitrariamente pequena, escolhendo
n grande.
Passo 3
Para
k>= n+1 notamos que
porque cada fator
(n+j)>=2 para
j>=2 . Assim
Passo 4
Logo a “cauda” da soma satisfaz
Dado
varepsilon>0 , basta escolher
N tal que
Então, para todo
m,n>= N ,
l|am - anr|<= 2/(N+1)!<varepsilon . Isto mostra que
an é de Cauchy.
Resposta
A sequência
an=1+11!+cdots+1n! satisfaz o critério de Cauchy e, portanto, converge.