• Demonstrar o critério de Raabe pela comparacão com sumSigma^infty l :
A série Sigma|anu| será convergente ou divergente, conforme
n(|a0||an+1|-1)
fôr maior do que 1+epsilon ou menor do que 1-epsilon para qualquer valor sulficientemente grande de n.

Passo 1

O enunciado pede a demonstração do critério de Raabe para a série sum |an|. Em linhas gerais, vamos mostrar que se existir epsilon>0 e N tal que para todo n>= N
nl(|an||an+1|-1r)>= 1+epsilon,
então sumn=0^infty|an| converge, e que se para todo n>= N
nl(|an||an+1|-1r)<= 1-epsilon,
então sum|an| diverge. A ideia central é reduzir o teste de Raabe à comparação com séries-p de expoente 1+epsilon ou 1-epsilon.

Passo 2

Suponha que exista epsilon>0 e N tais que para todo n>= N
nl(|an||an+1|-1r)>= 1+epsilon
Reescrevendo,
|an||an+1|>= 1+1+epsilonn Longrightarrow |an+1|<=n,n+1+epsilon,,|an|

Passo 3

Aplicando essa desigualdade por indução em k>=1, para n=N,N+1,dots,N+k-1, obtemos
|aN+k|<=|aN|prodi=N^N+k-1i,i+1+epsilon,
Tomando logaritmo e usando a desigualdade ln(1+x)>= x-tfrac12x^2 para x=(1+epsilon)/i, chega-se a
prodi=N^N+k-1i,i+1+epsilon, <= C,k^-(1+epsilon)
para certa constante C>0. Logo
|aN+k|<= C',k^-(1+epsilon),
com C'=|aN|,C. Como sum k^-(1+epsilon) é convergente ( 1+epsilon>1), a parte tail sumn=N^infty|an| converge, e portanto sumn=0^infty|an| converge.

Passo 4

Analogamente, suponha que exista epsilon>0 e N tais que para todo n>= N
nl(|an||an+1|-1r)<= 1-epsilon
Reescrevendo dá
|an+1|>=n,n+1-epsilon,,|an|
Induz-se então
|aN+k|>= C'',k^-(1-epsilon)
para alguma constante C''>0. Como 1-epsilon<=1, a série sum k^-(1-epsilon) diverge, e segue que sum|an| diverge.

Resposta

O critério de Raabe fica assim:
  • Se existe epsilon>0 tal que, para todo n suficientemente grande, nl(tfrac|an||an+1|-1r)>1+epsilon, então sumn=0^infty|an| converge.
  • Se existe epsilon>0 tal que, para todo n suficientemente grande, nl(tfrac|an||an+1|-1r)<1-epsilon, então sumn=0^infty|an| diverge.

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