- Demonstrar o critério de Raabe pela comparacão com
l :
A série
será convergente ou divergente, conforme
fôr maior do que
ou menor do que
para qualquer valor sulficientemente grande de
.
Passo 1
O enunciado pede a demonstração do critério de Raabe para a série
. Em linhas gerais, vamos mostrar que se existir
e
tal que para todo
então
converge, e que se para todo
então
diverge. A ideia central é reduzir o teste de Raabe à comparação com séries-p de expoente
ou
.
Passo 2
Suponha que exista
e
tais que para todo
Reescrevendo,
Passo 3
Aplicando essa desigualdade por indução em
, para
, obtemos
Tomando logaritmo e usando a desigualdade
para
, chega-se a
para certa constante
. Logo
com
. Como
é convergente (
), a parte tail
converge, e portanto
converge.
Passo 4
Analogamente, suponha que exista
e
tais que para todo
Reescrevendo dá
Induz-se então
para alguma constante
. Como
, a série
diverge, e segue que
diverge.
Resposta
O critério de Raabe fica assim:
- Se existe
tal que, para todo suficientemente grande, então converge. - Se existe
tal que, para todo suficientemente grande, então diverge.