• Duas partículas com cargas opostas, +e,-e, separadas por pequena distância d, formam um dipolo com o momento M=e d. Mostrar que a energia potencial é igual a Mr^2(1+epsilon), onde epsilon é aproximadamente igual a d^24 r^2, num ponto situado no eixo do dipolo à distância r do seu centro;
    (b) é igual a 0 num ponto situado sôbre o bissetor perpendicular ao dipolo;
    (c) éigual a M cos thetar^2(1+epsilon), em que epsilon é aproximadamente igual a d^28 r^2(5 cos ^2 theta-3),
    num ponto de coordenadas r, theta, relativas ao centro e ao eixo do dipolo.
    (A energia potencial da carga única q num ponto situado à distância r da carga é q / r; a energia potencial de diversas cargas é igual à soma da energia putencial das cargas isoladas.)

Passo 1

O enunciado trata de duas cargas opostas +e e -e separadas por uma distância d, formando um dipolo de momento M=e,d. Queremos usar a superposição do potencial escalar de cada carga, que para uma carga q a distância R é q/R, e fazer expansão em série de Taylor (binomial) supondo dll r. Assim achamos a forma aproximada do potencial num ponto a uma distância r do centro do dipolo, primeiro ao longo do eixo, depois no plano perpendicular, e finalmente em posição geral (r,theta).

Passo 2

Para um ponto no eixo do dipolo, colocamos a carga +e em z=+d/2 e a carga -e em z=-d/2, e o ponto de observação em z=r com r>d/2. O potencial é
V=er - tfrac d2;-;er + tfrac d2 =el[(r+tfrac d2)-(r-tfrac d2)r]r^2 - tfracd^24 =e,dr^2 - tfracd^24 =Mr^2-tfracd^24
Agora fazemos a expansão para d^2/(4r^2)ll1:
1r^2-tfracd^24 =1r^2,11-tfracd^24r^2 approx1r^2l(1+d^24r^2r)
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VapproxMr^2l(1+epsilonr), epsilonapproxd^24r^2

Passo 3

Num ponto situado sobre o plano que bisseta perpendicularmente o dipolo, as distâncias às cargas +e e -e são iguais, digamos R. Então
V=eR-eR=0

Passo 4

Para um ponto genérico de coordenadas esféricas (r,theta) em relação ao centro e ao eixo do dipolo, as distâncias às cargas são
r+=raizr^2+l(tfrac d2r)^2- r,dcostheta, r-=raizr^2+l(tfrac d2r)^2+ r,dcostheta
O potencial é
V=er+-er-
Escrevendo a=tfracd2r e usando a expansão
1raiz1+x=1- x2+3x^28-5x^316+cdots
com x=pm2acostheta+a^2, obtemos até segunda ordem em d:
1r+-1r- =2acosthetarl[1+a^2l(tfrac52cos^2theta-tfrac34r)r]
Multiplicando por e e lembrando 2e,a=e,d e M=e,d, chega-se a
VapproxMcosthetar^2 l[1+epsilonr], epsilonapproxd^28r^2l(5cos^2theta-3r)

Resposta

(a) VapproxMr^2l(1+epsilonr), com epsilonapproxd^24r^2.
(b) V=0.
(c) VapproxMcosthetar^2l(1+epsilonr), com epsilonapproxd^28r^2l(5cos^2theta-3r).

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