- Duas partículas com cargas opostas,
, separadas por pequena distância
, formam um dipolo com o momento
. Mostrar que a energia potencial é igual a
, onde
é aproximadamente igual a
, num ponto situado no eixo do dipolo à distância
do seu centro;
(b) é igual a 0 num ponto situado sôbre o bissetor perpendicular ao dipolo;
(c) éigual a
, em que
é aproximadamente igual a
,
num ponto de coordenadas
,
, relativas ao centro e ao eixo do dipolo.
(A energia potencial da carga única
num ponto situado à distância
da carga é
; a energia potencial de diversas cargas é igual à soma da energia putencial das cargas isoladas.)
(b) é igual a 0 num ponto situado sôbre o bissetor perpendicular ao dipolo;
(c) éigual a
num ponto de coordenadas
(A energia potencial da carga única
Passo 1
O enunciado trata de duas cargas opostas
e
separadas por uma distância
, formando um dipolo de momento
. Queremos usar a superposição do potencial escalar de cada carga, que para uma carga
a distância
é
, e fazer expansão em série de Taylor (binomial) supondo
. Assim achamos a forma aproximada do potencial num ponto a uma distância
do centro do dipolo, primeiro ao longo do eixo, depois no plano perpendicular, e finalmente em posição geral
.
Passo 2
Para um ponto no eixo do dipolo, colocamos a carga
em
e a carga
em
, e o ponto de observação em
com
. O potencial é
Agora fazemos a expansão para
:
Logo
Passo 3
Num ponto situado sobre o plano que bisseta perpendicularmente o dipolo, as distâncias às cargas
e
são iguais, digamos
. Então
Passo 4
Para um ponto genérico de coordenadas esféricas
em relação ao centro e ao eixo do dipolo, as distâncias às cargas são
O potencial é
Escrevendo
e usando a expansão
com
, obtemos até segunda ordem em
:
Multiplicando por
e lembrando
e
, chega-se a
Resposta
(a)
, com
.
(b)
.
(c)
, com
.