Determinar a curva descrita pela extremidade de um segmento de comprimento constante
, medido ao logo da normal à parábola.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico (locus) dos pontos finais de um segmento de comprimento constante
, medido ao longo da normal à parábola
Ou seja, em cada ponto
da parábola traçamos a normal e marcamos sobre ela, a partir de
, um segmento de comprimento
; o conjunto desses pontos finais é a curva que queremos determinar. Vamos usar parametrização da parábola, equação da normal e adicionar o deslocamento de módulo
ao longo da normal.
Passo 2
Parametrizamos a parábola pela abscissa
:
A derivada
no ponto
é
logo o coeficiente angular da normal é
A equação da normal em
é
Passo 3
Para deslocar-se ao longo dessa normal uma distância
, precisamos do vetor unitário na direção da normal. Um vetor paralelo à normal é
, cujo comprimento é
Logo um vetor unitário é
Passo 4
Somando esse vetor unitário, vezes
, às coordenadas de
, obtemos as coordenadas
do ponto final do segmento de comprimento
:
Isso fornece uma representação paramétrica para o locus procurado.
Passo 5
Se for necessário obter a equação cartesiana, chamamos
de modo que
, e impomos ainda
pois o ponto
está a distância
de
. Eliminando
e
nesse sistema obtém-se, após manipulações algébricas, a equação cartesiana do envelope dos deslocamentos normais de comprimento
.
Resposta
A curva é o paralelo (offset) da parábola a distância
ao longo das normais, cuja forma paramétrica é