Determinar a curva descrita pela extremidade de um segmento de comprimento constante l, medido ao logo da normal à parábola.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico (locus) dos pontos finais de um segmento de comprimento constante l, medido ao longo da normal à parábola
y^2 = 4a x
Ou seja, em cada ponto P da parábola traçamos a normal e marcamos sobre ela, a partir de P, um segmento de comprimento l; o conjunto desses pontos finais é a curva que queremos determinar. Vamos usar parametrização da parábola, equação da normal e adicionar o deslocamento de módulo l ao longo da normal.

Passo 2

Parametrizamos a parábola pela abscissa t:
xP = a t^2, yP = 2a t
A derivada dy/dx no ponto P é
dydx = 2ayP = 2a2a t = 1t,
logo o coeficiente angular da normal é
mrm n = -,t
A equação da normal em P é
y - 2a t = -,tl(x - a t^2r)

Passo 3

Para deslocar-se ao longo dessa normal uma distância l, precisamos do vetor unitário na direção da normal. Um vetor paralelo à normal é l(1,,-tr), cujo comprimento é
raiz1 + t^2
Logo um vetor unitário é
1raiz1+t^2,(1,,-t)

Passo 4

Somando esse vetor unitário, vezes l, às coordenadas de P, obtemos as coordenadas l(x,yr) do ponto final do segmento de comprimento l:
x = a t^2 ;+;lraiz1+t^2, y = 2a t ;-;l,traiz1+t^2
Isso fornece uma representação paramétrica para o locus procurado.

Passo 5

Se for necessário obter a equação cartesiana, chamamos
u = a t^2, v = 2a t,
de modo que v^2 =4a,u, e impomos ainda
(x - u)^2 + (y - v)^2 = l^2,
pois o ponto (x,y) está a distância l de (u,v). Eliminando u e v nesse sistema obtém-se, após manipulações algébricas, a equação cartesiana do envelope dos deslocamentos normais de comprimento l.

Resposta

A curva é o paralelo (offset) da parábola a distância l ao longo das normais, cuja forma paramétrica é
boxed x = a t^2 + lraiz1+t^2, y = 2a t - l,traiz1+t^2, tinR

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