Demonstrar que
(a) integral-1^1(x^2-1)^2 d x=1613 ; (b) (-1)^n integral-1^1(x^2-1)^n d x=2^n+1(n!)^2(2 n+1)!.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1(x^2-1)^2,dx
e, em seguida, para mostrar que, para inteiro n>=0,
(-1)^nintegral-1^1(x^2-1)^n,dx
tem a forma fechada
2^n+1,(n!)^2(2n+1)!,
O conteúdo principal aqui é integração de polinômios (parte a) e uso da função Beta/Gamma (parte b).

Passo 2

Para a parte (a) expandimos o integrando em potências de x:
(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1
Assim
integral-1^1(x^2-1)^2,dx =integral-1^1x^4,dx;-;2integral-1^1x^2,dx;+;integral-1^11,dx

Passo 3

Calculamos cada termo usando que o integrando é par, logo
integral-1^1x^4,dx =2integral0^1x^4,dx =2[x^55]0^1 =25,
integral-1^1x^2,dx =2integral0^1x^2,dx =2[x^33]0^1 =23, integral-1^11,dx=2
Portanto
integral-1^1(x^2-1)^2,dx =25-2cdot23+2 =25-43+2 =1615

Passo 4

Para a parte (b) notamos que
(-1)^n(x^2-1)^n=(1-x^2)^n
e que (1-x^2)^n é função par. Assim
(-1)^nintegral-1^1(x^2-1)^n,dx =2integral0^1(1-x^2)^n,dx
Fazemos a substituição t=x^2, dx=tfrac12t^-1/2dt, o que dá
2integral0^1(1-x^2)^n,dx =2integral0^1(1-t)^n,dt2,t^1/2 =integral0^1t^tfrac12-1(1-t)^n,dt = Bl(tfrac12,n+1r)

Passo 5

Usando a relação Beta–Gamma,
Bl(tfrac12,n+1r) =Gamma(tfrac12),Gamma(n+1)Gamma(n+tfrac32) =raizpi;n!Gamma(n+tfrac32),
e a fórmula
Gammal(n+tfrac32r) =(2n+1)!2^2n+1,n!,raizpi,
segue
Bl(tfrac12,n+1r) =raizpi,n!(2n+1)!2^2n+1n!raizpi =2^2n+1,(n!)^2(2n+1)!
Logo
(-1)^nintegral-1^1(x^2-1)^n,dx =2^2n+1,(n!)^2(2n+1)!

Resposta

(a) integral-1^1(x^2-1)^2,dx=1615
(b) (-1)^nintegral-1^1(x^2-1)^n,dx=2^2n+1,(n!)^2(2n+1)!

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