Demonstrar que
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e, em seguida, para mostrar que, para inteiro
,
tem a forma fechada
O conteúdo principal aqui é integração de polinômios (parte a) e uso da função Beta/Gamma (parte b).
Passo 2
Para a parte (a) expandimos o integrando em potências de
:
Assim
Passo 3
Calculamos cada termo usando que o integrando é par, logo
Portanto
Passo 4
Para a parte (b) notamos que
e que
é função par. Assim
Fazemos a substituição
,
, o que dá
Passo 5
Usando a relação Beta–Gamma,
e a fórmula
segue
Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)