- Mostrar que as duas famílias de elipses e de hipérboles
têm focos comuns e se interceptam segundo ângulos retos.
Passo 1
O enunciado define duas famílias de conicidades cujas equações são
(e lípses) e
(hipérboles). Vamos usar que, para cada família,
- as elipses têm semi-eixos
, - as hipérboles podem ser escritas como
com semi-eixo transversoe conjugado .
Em ambas as famílias mostraremos que os focos ficam em
e que, nos pontos de interseção, as tangentes são perpendiculares.
Passo 2
(Comuns dos focos)
. Na família elíptica definimos
O valor do parâmetro focal é
Logo os focos são
.
. Na família hiperbólica escrevemos
Aqui o semi-eixo transverso vale
e o conjugado
, de modo que o parâmetro focal é
Portanto esta família também tem focos em
.
Passo 3
(Expressões de
Subtraindo a segunda da primeira e arrumando, obtém-se
isto é
Como e
) dá
Passo 4
(Declives das tangentes)
Para a elipse se difere implicitamente
Para a elipse
Para a hipérbole
Passo 5
(Ortogonalidade)
O produto dos declives nos pontos comuns é
O produto dos declives nos pontos comuns é
Usando as expressões de
e
do Passo
,
segue
Como
, as tangentes são perpendiculares.
Resposta
As duas famílias são confocais com focos em
e, nos pontos de interseção, têm declives cujos produtos valem , logo intersectam-se segundo ângulos retos.
e, nos pontos de interseção, têm declives cujos produtos valem