• Mostrar que as duas famílias de elipses e de hipérboles
& x^2a^2-lambda+y^2b^2-lambda=1, para lambda<b & x^2a^2-tau+y^2b^2-tau=1, para a<tau<b
têm focos comuns e se interceptam segundo ângulos retos.

Passo 1

O enunciado define duas famílias de conicidades cujas equações são
x^2a^2-lambda+y^2b^2-lambda=1, lambda<b^2,
(e lípses) e
x^2a^2-tau+y^2b^2-tau=1, b^2<tau<a^2,
(hipérboles). Vamos usar que, para cada família,
  • as elipses têm semi-eixos
    ;a'=raiza^2-lambda,;b'=raizb^2-lambda,
  • as hipérboles podem ser escritas como
    ;x^2a^2-tau-y^2tau-b^2=1
    com semi-eixo transverso alpha=raiza^2-tau e conjugado beta=raiztau-b^2.
    Em ambas as famílias mostraremos que os focos ficam em
    l(pmraiza^2-b^2,,0r)
    e que, nos pontos de interseção, as tangentes são perpendiculares.

Passo 2

(Comuns dos focos)
1. Na família elíptica definimos
a'=raiza^2-lambda, b'=raizb^2-lambda
O valor do parâmetro focal é
c'^2=(a')^2-(b')^2=(a^2-lambda)-(b^2-lambda)=a^2-b^2
Logo os focos são
F=l(pmraiza^2-b^2,0r).
2. Na família hiperbólica escrevemos
x^2a^2-tau+y^2b^2-tau=1 ;Longrightarrow; x^2a^2-tau-y^2tau-b^2=1
Aqui o semi-eixo transverso vale alpha=raiza^2-tau e o conjugado
beta=raiztau-b^2, de modo que o parâmetro focal é
c''^2=alpha^2+beta^2=(a^2-tau)+(tau-b^2)=a^2-b^2
Portanto esta família também tem focos em
l(pmraiza^2-b^2,0r).

Passo 3

(Expressões de
Subtraindo a segunda da primeira e arrumando, obtém-se
isto é
Como e ) dá
]

Passo 4

(Declives das tangentes)
Para a elipse lambda se difere implicitamente
x^2a^2-lambda+y^2b^2-lambda=1 ;Longrightarrow; 2xa^2-lambda+2yb^2-lambda,y'=0 ;Longrightarrow; y'1 =-b^2-lambdaa^2-lambda,xy
Para a hipérbole tau
x^2a^2-tau-y^2tau-b^2=1 ;Longrightarrow; 2xa^2-tau-2ytau-b^2,y'=0 ;Longrightarrow; y'2 =tau-b^2a^2-tau,xy =-b^2-taua^2-tau,xy

Passo 5

(Ortogonalidade)
O produto dos declives nos pontos comuns é
y'1,y'2 =l(-tfracb^2-lambdaa^2-lambda,tfracxyr) l(-tfracb^2-taua^2-tau,tfracxyr) =x^2(b^2-lambda)(b^2-tau)y^2(a^2-lambda)(a^2-tau)
Usando as expressões de x^2 e y^2 do Passo 3,
x^2=(a^2-lambda)(a^2-tau)c^2, y^2=-(b^2-lambda)(b^2-tau)c^2,
segue
y'1,y'2 =(a^2-lambda)(a^2-tau)c^2;(b^2-lambda)(b^2-tau) -(b^2-lambda)(b^2-tau)c^2;(a^2-lambda)(a^2-tau) =-1
Como y'1y'2=-1, as tangentes são perpendiculares.

Resposta

As duas famílias são confocais com focos em
l(pmraiza^2-b^2,,0r)
e, nos pontos de interseção, têm declives cujos produtos valem -1, logo intersectam-se segundo ângulos retos.

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