Demonstrar que um inteiro é divisível por 4 se e somente se a soma do algarismo das unidades com o dobro do algarismo das dezenas é divisível por 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro N é divisível por 4 se, e somente se, a soma do algarismo das unidades com o dobro do algarismo das dezenas for divisível por 4. Para isso vamos usar a representação decimal de N e aritmética modular em bmod 4.

Passo 2

Seja N um inteiro (podemos tratar primeiro o caso N>=0, o negativo é análogo) com representação decimal
N = 100k + 10d + u,
onde k é o inteiro formado pelos dígitos das centenas em diante, d é o dígito das dezenas e u é o dígito das unidades.

Passo 3

Note que 100k é múltiplo de 4, pois
100 equiv 0 pmod4 Longrightarrow 100k equiv 0 pmod4
Logo
N equiv 10d + u pmod4
Como
10 equiv 2 pmod4,
segue
N equiv 2d + u pmod4
Portanto N é divisível por 4 se, e somente se, 2d + u equiv 0 pmod4, isto é, se a soma do algarismo das unidades com o dobro do algarismo das dezenas for divisível por 4.

Resposta

Conclui-se que um inteiro N é múltiplo de 4 se, e somente se, u + 2d for múltiplo de 4.

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