Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
28 times 75 y seja divisível por 33 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os dígitos x e y tais que o número de seis algarismos
28x75y
seja divisível por 33. Como 33 = 3 times 11, basta exigir que esse número seja divisível por 3 e por 11.

Passo 2

Critério de divisibilidade por 11: num número de seis dígitos d1d2d3d4d5d6, temos divisibilidade por 11 se
(d1 + d3 + d5) - (d2 + d4 + d6)equiv 0pmod11
Aqui d1=2, d2=8, d3=x, d4=7, d5=5, d6=y. Logo
(2 + x + 5) - (8 + 7 + y) = x - y - 8
deve ser múltiplo de 11. Portanto
x - y - 8 equiv 0pmod11 Longrightarrow x - y = 8 ou x - y = -3
(esses são os valores possíveis dentro de -9<= x-y<=9).

Passo 3

Critério de divisibilidade por 3: a soma dos dígitos deve ser múltipla de 3. Aqui
2 + 8 + x + 7 + 5 + y = 22 + x + y
deve satisfazer
22 + x + y equiv 0pmod3 Longrightarrow x + y equiv 2pmod3

Passo 4

Agora resolvemos os dois casos de x-y:
Caso 1: x - y = 8. Então y = x - 8 e
x + y = x + (x - 8) = 2x - 8 equiv 2pmod3 ;Longrightarrow; 2x equiv 10equiv 1pmod3 ;Longrightarrow; xequiv 2pmod3
Entre 0 e 9, os candidatos são x=2,5,8. Desses, apenas x=8 y=8-8=0 (válido).
Caso 2: x - y = -3. Então y = x + 3 e
x + y = x + (x+3) = 2x + 3 equiv 2pmod3 ;Longrightarrow; 2x equiv -1equiv 2pmod3 ;Longrightarrow; xequiv 1pmod3
Entre 0 e 9, os candidatos são x=1,4,7. Destes:
  • Se x=1 então y=4.
  • Se x=4 então y=7.
  • Se x=7 então y=10 (inválido, pois não é dígito).

Passo 5

Os pares válidos que satisfazem ambos critérios são
(x,y) = (8,0),;(1,4),;(4,7)

Resposta

(x,y) = (1,4),;(4,7) ou (8,0).

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