Demonstrar que lim n infty n^de<a2^prime prime=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limntoinftyn^de<a2^n=0.
O conteúdo aqui é comparar o crescimento polinomial de n^de<a com o crescimento exponencial de base 2, sabendo que a parte exponencial domina qualquer polinômio.

Passo 2

Definimos a sequência l(anr)n>=1 por
an = n^de<a2^n
e vamos estudar o comportamento de an quando n cresce.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão para sequências, calculando
an+1an = (n+1)^de<a2^n+1n^de<a2^n = (n+1)^de<an^de<acdot2^n2^n+1 = l(1+1nr)^de<a12

Passo 4

Como limntoinfty(1+tfrac1n)^de<a=1, segue que
limntoinftyan+1an = 12
Uma razão limite menor que 1 garante que, a partir de um certo índice, an decresce geometricamente, tendendo a zero.

Passo 5

Portanto
limntoinftyan=0
ou seja
limntoinftyn^de<a2^n=0

Resposta

0

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