Comparar a ordem de grandeza de integral0^x f(xi) d xi em relação a f(x) quando x infty, para as seguintes funçües f(x) :
x e^x^3.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a ordem de grandeza de
I(x) = integral0^xf(xi),dxi
em relação a
f(x)=x,e^x^3
quando xtoinfty.
O método mais direto é estudar o limite
limxtoinftyI(x)f(x)
e, se necessário, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos definir
L=limxtoinftyI(x)f(x)
Como tanto o numerador I(x) quanto o denominador f(x) tendem a +infty quando xtoinfty, podemos usar L’Hôpital. Para isso, precisamos das derivadas:
ddxI(x)=f(x), ddxf(x)=f'(x)
Logo, por L’Hôpital,
L =limxtoinftyI(x)f(x) =limxtoinftyf(x)f'(x)

Passo 3

Calculamos f'(x). Temos
f(x)=x,e^x^3,
então
f'(x) =ddxl(x,e^x^3r) =e^x^3 + xcdot e^x^3cdot3x^2 =e^x^3l(1+3x^3r)
Portanto,
f(x)f'(x) =x,e^x^3e^x^3,(1+3x^3) =x1+3x^3 sim13x^2 (xtoinfty)

Passo 4

Isso mostra que
L=limxtoinftyI(x)f(x)=0,
ou seja,
I(x)=ol(f(x)r)
Além disso, de fato
I(x)sim f(x)3x^2 =x,e^x^33x^2 =e^x^33x (xtoinfty)

Resposta

integral0^xx,e^x^3,dx =I(x)=ol(f(x)r),
isto é,
integral0^xx,e^x^3,dx sim e^x^33x =f(x)3x^2 quando xtoinfty

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