• Mostrar que a equação da elipse com um dos focos na origem é

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, colocando um dos focos de uma elipse na origem e adotando a definição foco–diretriz, a equação em coordenadas polares fica da forma
r = k1 - e cosl(theta - theta0r)
Para isso vamos usar a definição de seção cônica por foco e diretriz e a relação entre coordenadas polares e distância a uma reta.

Passo 2

Escolhemos o foco em O e uma diretriz reta de equação
xcostheta0 + ysintheta0 = -,d,
onde d>0 é a distância desta diretriz ao foco e o sinal “ -” garante que os pontos da elipse fiquem entre o foco e a reta. A excentricidade da elipse é e.

Passo 3

Um ponto genérico P da elipse tem coordenadas polares (r,theta), logo
x = rcostheta, y = rsintheta
A distância de P à diretriz é
l|xcostheta0 + ysintheta0 + dr| = rcos(theta-theta0) + d,
pois P está entre o foco e a reta (o valor dentro do valor absoluto é não negativo).

Passo 4

Pela definição de seção cônica, a razão entre a distância ao foco ( r) e a distância à diretriz é a excentricidade e:
rrcos(theta-theta0) + d = e
Multiplicando e isolando r,
r = el(rcos(theta-theta0) + dr) ;Longrightarrow; r - e,rcos(theta-theta0) = e,d ;Longrightarrow; rl(1 - ecos(theta-theta0)r) = e,d
Definindo k = e,d, chega-se à forma desejada.

Resposta

r = k1 - e cosl(theta - theta0r)

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