Mostrar que a equação da elipse com um dos focos na origem é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, colocando um dos focos de uma elipse na origem e adotando a definição foco–diretriz, a equação em coordenadas polares fica da forma
Para isso vamos usar a definição de seção cônica por foco e diretriz e a relação entre coordenadas polares e distância a uma reta.
Passo 2
Escolhemos o foco em e uma diretriz reta de equação
onde é a distância desta diretriz ao foco e o sinal “” garante que os pontos da elipse fiquem entre o foco e a reta. A excentricidade da elipse é .
Passo 3
Um ponto genérico da elipse tem coordenadas polares , logo
A distância de à diretriz é
pois P está entre o foco e a reta (o valor dentro do valor absoluto é não negativo).
Passo 4
Pela definição de seção cônica, a razão entre a distância ao foco (r) e a distância à diretriz é a excentricidade e:
rrcos(theta-theta0) + d = e
Multiplicando e isolando r,
r = el(rcos(theta-theta0) + dr) ;Longrightarrow; r - e,rcos(theta-theta0) = e,d ;Longrightarrow; rl(1 - ecos(theta-theta0)r) = e,d
Definindo k = e,d, chega-se à forma desejada.
Resposta
r = k1 - e cosl(theta - theta0r)
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 46