Demonstrar que são congruentes dois triângulos que têm respectivamente iguais um lado e as alturas relativas aos outros lados.
Passo 1
Vamos chamar os dois triângulos de
e
. O enunciado diz que
- o lado
é igual ao lado ; - as alturas relativas aos outros lados são iguais, ou seja,
– a altura desobre , que chamamos de , é igual à altura de sobre , que chamamos de ;
– a altura desobre , que chamamos de , é igual à altura de sobre , que chamamos de .
O objetivo é mostrar que os triângulose são congruentes.
Passo 2
Identifiquemos o lado comum: seja
Agora, expressamos as alturas em função de
e dos ângulos nos vértices
e
:
– A altura de sobre
vale
– A altura de
pois é o cateto oposto ao ângulo
num triângulo de hipotenusa
.
– A altura de sobre
vale
– A altura de
De modo análogo, no triângulo
temos
Passo 3
Pelo enunciado
e
. Logo, usando as expressões de cima:
Passo 4
Como as alturas estão internas ao triângulo, supomos
. Nessa situação
é injetora em
. Logo
Passo 5
Agora temos em cada triângulo o lado
e os ângulos adjacentes iguais:
Pelo caso de congruência ASA (ângulo–lado–ângulo), concluímos que
Resposta
Os triângulos são congruentes.