Demonstrar que são congruentes dois triângulos que têm respectivamente iguais um lado e as alturas relativas aos outros lados.

Passo 1

Vamos chamar os dois triângulos de ABC e A'B'C'. O enunciado diz que
  1. o lado AB é igual ao lado A'B';
  2. as alturas relativas aos outros lados são iguais, ou seja,
    – a altura de A sobre BC, que chamamos de h_a, é igual à altura de A' sobre B'C', que chamamos de h'_a;
    – a altura de B sobre CA, que chamamos de h_b, é igual à altura de B' sobre C'A', que chamamos de h'_b.
    O objetivo é mostrar que os triângulos ABC e A'B'C' são congruentes.

Passo 2

Identifiquemos o lado comum: seja
c = AB = A'B'.
Agora, expressamos as alturas em função de c e dos ângulos nos vértices B e C:
– A altura de A sobre BC vale
h_a = c \,\sin C,
pois é o cateto oposto ao ângulo C num triângulo de hipotenusa c.
– A altura de B sobre CA vale
h_b = c \,\sin B.
De modo análogo, no triângulo A'B'C' temos
h'_a = c \,\sin C' \quad\text{e}\quad h'_b = c \,\sin B'.

Passo 3

Pelo enunciado h_a = h'_a e h_b = h'_b. Logo, usando as expressões de cima:
c\,\sin C = c\,\sin C' \quad\Longrightarrow\quad \sin C = \sin C',
c\,\sin B = c\,\sin B' \quad\Longrightarrow\quad \sin B = \sin B'.

Passo 4

Como as alturas estão internas ao triângulo, supomos B,C,B',C'<90^\circ. Nessa situação \sin x é injetora em (0,90^\circ). Logo
\sin C = \sin C' \implies C = C' \quad\text{e}\quad \sin B = \sin B' \implies B = B'.

Passo 5

Agora temos em cada triângulo o lado AB=A'B' e os ângulos adjacentes iguais:
B = B' \quad\text{e}\quad C = C'.
Pelo caso de congruência ASA (ângulo–lado–ângulo), concluímos que
\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.

Resposta

Os triângulos são congruentes.

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