Determinar o polinômio Pn(x)=12^n n! d^nd x^n(x^2-1)^n, empregando o teorema do binômio.

Passo 1

O enunciado define o polinômio de Legendre
Pn(x)=12^nn!d^ndx^nl(x^2-1r)^n
e pede que a gente o determine em forma fechada usando o Teorema do Binômio. Vamos precisar de duas coisas:
  1. Aplicar o Teorema do Binômio a l(x^2-1r)^n.
  2. Diferenciar termo a termo e simplificar o coeficiente.

Passo 2

Expandimos l(x^2-1r)^n pelo Teorema do Binômio:
l(x^2-1r)^n =sumk=0^nbinomnk(x^2)^k(-1)^,n-k =sumk=0^nbinomnk(-1)^,n-kx^2k

Passo 3

Agora aplicamos d^ndx^n termo a termo. Para cada termo x^2k com k<tfrac n2 a derivada de ordem n anula o termo (visto que 2k<n). Se 2k>= n, temos
d^ndx^n,x^2k =(2k)!(2k-n)!;x^2k-n
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d^ndx^nl(x^2-1r)^n =sumk=lceil n/2rceil^nbinomnk(-1)^,n-k(2k)!(2k-n)!;x^2k-n

Passo 4

Para escrever na forma de soma sobre a potência x^n-2m, trocamos a variável de soma. Seja m=n-k. Então k=n-m e 2k-n=n-2m. O somatório em k=lceil n/2rceil,dots,n vira m=0,dots,lfloor n/2rfloor. Substituindo binomnk=binomnm e reorganizando fatoriais, obtemos
d^ndx^nl(x^2-1r)^n =summ=0^lfloor n/2rfloor(-1)^mbinomnm(2n-2m)!(n-2m)!;x^,n-2m

Passo 5

Por fim, dividimos por 2^nn! e simplificamos binomnm=n!m!(n-m)!. Assim chega-se à forma padrão
Pn(x) =12^nn! summ=0^lfloor n/2rfloor(-1)^m,n!m!(n-m)!,(2n-2m)!(n-2m)!;x^,n-2m
Cancelando o n! obtemos a expressão final.

Resposta

Pn(x) =summ=0^lfloor n/2rfloor(-1)^m (2n-2m)!2^n,m!,(n-m)!,(n-2m)!;x^,n-2m

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