Determinar o polinômio
, empregando o teorema do binômio.
Passo 1
O enunciado define o polinômio de Legendre
e pede que a gente o determine em forma fechada usando o Teorema do Binômio. Vamos precisar de duas coisas:
- Aplicar o Teorema do Binômio a
. - Diferenciar termo a termo e simplificar o coeficiente.
Passo 2
Expandimos
pelo Teorema do Binômio:
Passo 3
Agora aplicamos
termo a termo. Para cada termo
com
a derivada de ordem
anula o termo (visto que
). Se
, temos
Logo
Passo 4
Para escrever na forma de soma sobre a potência
, trocamos a variável de soma. Seja
. Então
e
. O somatório em
vira
. Substituindo
e reorganizando fatoriais, obtemos
Passo 5
Por fim, dividimos por
e simplificamos
. Assim chega-se à forma padrão
Cancelando o
obtemos a expressão final.