Desenhar os gráficos seruintes, escrevendo, também, as equaçũes em coordenadas cartesianas:
r=a+b cos theta (Caracol de Pascal).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o “caracol de Pascal” definido em coordenadas polares por
r = a + b costheta
e também obter sua forma em coordenadas cartesianas.
Conteúdo necessário: conversão entre coordenadas polares (r,theta) e cartesianas (x,y), sabendo que
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2 + y^2, costheta = xr

Passo 2

Substituímos costheta = x/r em r = a + bcostheta:
r = a + bxr
Multiplicando ambos os lados por r, obtemos
r^2 = a,r + b,x
Como r^2 = x^2 + y^2, isso dá
x^2 + y^2 = a,r + b,x

Passo 3

Para eliminar r = raizx^2 + y^2, levamos ao quadrado a forma ;r^2 - b,x = a,r:
l(r^2 - b,xr)^2 = a^2,r^2
Substituindo r^2 = x^2+y^2 em ambos os lugares, resulta
l(x^2 + y^2 - b,xr)^2 = a^2,(x^2 + y^2)
Essa é a equação cartesiana do caracol de Pascal.

Passo 4

Para esboçar o gráfico em polares, analisamos alguns valores notáveis de theta:
  1. theta = 0:
    r = a + bLongrightarrow (x,y) = l(a+b,,0r)
  2. theta = tfracpi2:
    r = aLongrightarrow (x,y) = l(0,,ar)
  3. theta = pi:
    r = a - bLongrightarrow (x,y) = l(a-b,,0r), mas se a<b há laço interno áç
  4. theta = tfrac3pi2:
    r = aLongrightarrow (x,y) = l(0,,-ar)
Além disso:
  • Se a>b>0, então r>= a-b>0 e o caracol é uma curva convexa, sem laço.
  • Se a=b, a curva tem uma cúspide na origem (cardioide degenerada).
  • Se b>a>0, então r fica negativa para thetaapproxpi, gerando um laço interno de tamanho b-a.
O caracol é simétrico em relação ao eixo polar ( x-positivo).

Passo 5

Esboce o seguinte contorno: partindo de (a+b,0) em theta=0, a curva vai diminuindo até (0,a) em theta=tfracpi2, segue até (a-b,0) em theta=pi (entrando em laço se a<b), depois retorna simetricamente para (0,-a) e fecha em (a+b,0).

Resposta

Equação em coordenadas cartesianas:
l(x^2 + y^2 - b,xr)^2 = a^2,(x^2 + y^2)
Gráfico: caracol centrado na origem, com ponto mais afastado em (a+b,0), simétrico em relação ao eixo x, com ou sem laço interno conforme a razão a/b.

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