Desenhar os gráficos seruintes, escrevendo, também, as equaçũes em coordenadas cartesianas:
(Caracol de Pascal).
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o “caracol de Pascal” definido em coordenadas polares por
e também obter sua forma em coordenadas cartesianas.
Conteúdo necessário: conversão entre coordenadas polares e cartesianas
, sabendo que
Conteúdo necessário: conversão entre coordenadas polares
Passo 2
Substituímos
em
:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Como
, isso dá
Passo 3
Para eliminar
, levamos ao quadrado a forma
:
Substituindo
em ambos os lugares, resulta
Essa é a equação cartesiana do caracol de Pascal.
Passo 4
Para esboçar o gráfico em polares, analisamos alguns valores notáveis de
:
-
: -
: -
: -
:
Além disso:
- Se
, então e o caracol é uma curva convexa, sem laço. - Se
, a curva tem uma cúspide na origem (cardioide degenerada). - Se
, então fica negativa para , gerando um laço interno de tamanho .
O caracol é simétrico em relação ao eixo polar (
-positivo).
Passo 5
Esboce o seguinte contorno: partindo de
em
, a curva vai diminuindo até
em
, segue até
em
(entrando em laço se
), depois retorna simetricamente para
e fecha em
.
Resposta
Equação em coordenadas cartesianas:
Gráfico: caracol centrado na origem, com ponto mais afastado em
, simétrico em relação ao eixo
, com ou sem laço interno conforme a razão
.