Determinar quais das funçös seguintes sãu continuas. Establecer us pontos de descontinuidade para as descontínuas.
f(x)=x^5+5 x^3+3 x^2sen x, f(0)=0.

Passo 1

O problema dá a função
f(x)= dfracx^5+5x^3+3x^2sin x,&xneq0,[6pt] 0,&x=0,
e pede para identificar onde ela é contínua e onde tem descontinuidade. O conteúdo usado será a continuidade de quocientes de funções contínuas, limites em pontos problemáticos (zeros do denominador) e, especificamente, o limite limxto0sin xx=1.]

Passo 2

Determinamos o domínio natural de f. Para xneq0 precisamos de sin xneq0, ou seja, xneq kpi para todo kinZ. Como definiram f(0)=0, seu domínio passa a ser
D=Rsetminuskpimid kinZ,,kneq0

Passo 3

Para x tal que sin xneq0 (isto é, xneq kpi), o numerador x^5+5x^3+3x^2 e o denominador sin x são funções polinomiais ou trigonométricas contínuas; o quociente de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínuo. Logo, f é contínua em todo xneq kpi.

Passo 4

Verificamos agora a continuidade em x=0. Queremos
limxto0x^5+5x^3+3x^2sin x
Fatorando x^2 no numerador,
x^5+5x^3+3x^2sin x =x^2l(x^3+5x+3r)sin x =xl(x^3+5x+3r),xsin x
Como limxto0(x^3+5x+3)=3 e limxto0xsin x=1, segue
limxto0f(x) =limxto0x,(x^3+5x+3),xsin x =0cdot3cdot1 =0
Como f(0) foi definido como 0, f é contínua em x=0.

Passo 5

Nos pontos x=kpi com kneq0, o denominador sin xto0 mas o numerador
x^5+5x^3+3x^2=(kpi)^2l((kpi)^3+5kpi+3r)
vale diferente de zero. Logo f(x)topminfty quando xto kpi, caracterizando descontinuidade de 1.º espécie (infinita) nesses pontos.

Resposta

A função f é contínua para todo x tal que sin xneq0, isto é, em Rsetminuskpi:kinZ, e também contínua em x=0 pela definição. Tem descontinuidade infinita em
x=kpi, kinZ,;kneq0

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