Demonstre que:
a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer.
b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça parte da diagonal.
a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer.
b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça parte da diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas num cubo de aresta de comprimento
:
- todas as arestas são igualmente inclinadas em relação a qualquer diagonal principal, e
- a projeção de cada aresta sobre essa diagonal vale um terço do comprimento da diagonal.
Para isso, vamos modelar o cubo no espaço cartesiano e usar produto escalar (ou dot-product) para comparar ângulos e projeções.
Passo 2
Coloquemos o cubo de modo que um vértice esteja na origem e o vértice oposto na posição
. Assim, escolhemos como diagonal principal o segmento que vai de
a
.
Denotemos por
o vetor direção dessa diagonal, e pelas arestas que partem da origem os vetores
Denotemos por
o vetor direção dessa diagonal, e pelas arestas que partem da origem os vetores
Passo 3
Para comparar o ângulo entre a diagonal e cada aresta, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro,
e
Em seguida, calculemos um dot-product típico, por exemplo
e
Em seguida, calculemos um dot-product típico, por exemplo
Logo
Mas o mesmo cálculo vale para
e
, porque
e
.
Portanto, o cosseno do ângulo entre a diagonal e cada aresta é sempre , ou seja, o ângulo é o mesmo para todas as arestas. Isso prova o item (a).
Portanto, o cosseno do ângulo entre a diagonal e cada aresta é sempre
Passo 4
A projeção de cada aresta
sobre a diagonal
tem comprimento
Como a diagonal tem comprimento
, segue
ou seja, exatamente um terço da diagonal. Isso prova o item (b).
Resposta
As arestas formam todas o mesmo ângulo com qualquer diagonal (com
), e a projeção de cada aresta nessa diagonal é igual a
do comprimento da diagonal.