Demonstre que:
a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer.
b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça parte da diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas num cubo de aresta de comprimento a:
  1. todas as arestas são igualmente inclinadas em relação a qualquer diagonal principal, e
  2. a projeção de cada aresta sobre essa diagonal vale um terço do comprimento da diagonal.
Para isso, vamos modelar o cubo no espaço cartesiano e usar produto escalar (ou dot-product) para comparar ângulos e projeções.

Passo 2

Coloquemos o cubo de modo que um vértice esteja na origem e o vértice oposto na posição (a,a,a). Assim, escolhemos como diagonal principal o segmento que vai de (0,0,0) a (a,a,a).
Denotemos por
vec d = (a,a,a)
o vetor direção dessa diagonal, e pelas arestas que partem da origem os vetores
vec ux = (a,0,0), vec uy = (0,a,0), vec uz = (0,0,a)

Passo 3

Para comparar o ângulo entre a diagonal e cada aresta, usamos a fórmula do produto escalar:
vec dcdotvec u = |vec d|;|vec u|;costheta
Primeiro,
|vec d| = raiza^2+a^2+a^2 = araiz3
e
|vec ux| = |vec uy| = |vec uz| = a
Em seguida, calculemos um dot-product típico, por exemplo
vec dcdotvec ux = (a,a,a)cdot(a,0,0) = a^2
Logo
costheta = vec dcdotvec ux|vec d||vec ux| = a^2(araiz3)(a) = 1raiz3
Mas o mesmo cálculo vale para vec uy e vec uz, porque
vec dcdotvec uy = a^2 e vec dcdotvec uz = a^2.
Portanto, o cosseno do ângulo entre a diagonal e cada aresta é sempre 1/raiz3, ou seja, o ângulo é o mesmo para todas as arestas. Isso prova o item (a).

Passo 4

A projeção de cada aresta vec u sobre a diagonal vec d tem comprimento
projvec d(vec u) = |vec u|costheta = acdot1raiz3 = araiz3
Como a diagonal tem comprimento |vec d| = araiz3, segue
araiz3 = araiz33 = tfrac13,(araiz3),
ou seja, exatamente um terço da diagonal. Isso prova o item (b).

Resposta

As arestas formam todas o mesmo ângulo com qualquer diagonal (com costheta=1/raiz3), e a projeção de cada aresta nessa diagonal é igual a tfrac13 do comprimento da diagonal.

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