Dos ortoedros que podemos formar dispondo de oito cubos iguais, determine o ortoedro de menor superfície.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos oito cubos idênticos de aresta unidade e queremos montá-los para formar um ortoedro (paralelepípedo retângulo) cujo volume é
. O conteúdo de matéria é otimização discreta: dado o volume fixo, qual configuração de arestas inteiras minimiza a área da superfície do ortoedro?
Passo 2
Sejam
,
e
as dimensões do ortoedro em número de cubos ao longo de cada aresta. Como cada cubo tem volume
, o volume do ortoedro é
A área da superfície do ortoedro é dada por
Passo 3
Precisamos listar todas as tripletas de inteiros positivos
(até permutação) que satisfazem
. São elas:
Passo 4
Calculamos
em cada caso:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 5
Comparando os valores de
, o mínimo ocorre em
, isto é, um cubo formado pelos oito cubos originais.
Resposta
O ortoedro de menor superfície é o cubo de dimensões
, com área total
.