Dos ortoedros que podemos formar dispondo de oito cubos iguais, determine o ortoedro de menor superfície.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos oito cubos idênticos de aresta unidade e queremos montá-los para formar um ortoedro (paralelepípedo retângulo) cujo volume é 8. O conteúdo de matéria é otimização discreta: dado o volume fixo, qual configuração de arestas inteiras minimiza a área da superfície do ortoedro?

Passo 2

Sejam a, b e c as dimensões do ortoedro em número de cubos ao longo de cada aresta. Como cada cubo tem volume 1, o volume do ortoedro é
abc = 8
A área da superfície do ortoedro é dada por
S = 2l(ab + bc + acr)

Passo 3

Precisamos listar todas as tripletas de inteiros positivos (a,b,c) (até permutação) que satisfazem abc=8. São elas:
(1,1,8), (1,2,4), (2,2,2)

Passo 4

Calculamos S em cada caso:
Para (1,1,8):
S = 2l(1cdot1 + 1cdot8 + 1cdot8r) = 2l(1 + 8 + 8r) = 34
Para (1,2,4):
S = 2l(1cdot2 + 2cdot4 + 1cdot4r) = 2l(2 + 8 + 4r) = 28
Para (2,2,2):
S = 2l(2cdot2 + 2cdot2 + 2cdot2r) = 2l(4 + 4 + 4r) = 24

Passo 5

Comparando os valores de S, o mínimo ocorre em (2,2,2), isto é, um cubo formado pelos oito cubos originais.

Resposta

O ortoedro de menor superfície é o cubo de dimensões 2times2times2, com área total 24.

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