Demonstre que, se duas alturas de um triângulo são congruentes, então esse triângulo é isósceles.
Passo 1
O enunciado afirma que em um triângulo quaisquer duas alturas são congruentes e pede para mostrar que esse triângulo é isósceles. Vamos usar a expressão da área de um triângulo em função de um lado (base) e da altura correspondente.
Passo 2
Seja
um triângulo qualquer. Denotemos por
a altura traçada de
sobre o lado
e por
a altura traçada de
sobre o lado
. A hipótese diz que
Passo 3
A área do triângulo
pode ser calculada usando
como base:
Usando
como base, temos
Passo 4
Como ambas expressões representam a mesma área, obtemos
Pela hipótese
, segue
logo
é isósceles.
Resposta
O triângulo é isósceles, com
.