Demonstre que, se duas alturas de um triângulo são congruentes, então esse triângulo é isósceles.

Passo 1

O enunciado afirma que em um triângulo quaisquer duas alturas são congruentes e pede para mostrar que esse triângulo é isósceles. Vamos usar a expressão da área de um triângulo em função de um lado (base) e da altura correspondente.

Passo 2

Seja ABC um triângulo qualquer. Denotemos por hA a altura traçada de A sobre o lado BC e por hB a altura traçada de B sobre o lado AC. A hipótese diz que
hA = hB

Passo 3

A área do triângulo ABC pode ser calculada usando BC como base:
A = tfrac12,BCcdot hA
Usando AC como base, temos
A = tfrac12,ACcdot hB

Passo 4

Como ambas expressões representam a mesma área, obtemos
BCcdot hA = ACcdot hB
Pela hipótese hA = hB, segue
BC = AC,
logo ABC é isósceles.

Resposta

O triângulo é isósceles, com BC = AC.

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