Mostre que em um triângulo retângulo qualquer, o ângulo formado pela altura e mediana relativa à hipotenusa é igual ao módulo da diferença dos ângulos adjacentes à hipotenusa.
Passo 1
Temos um triângulo retângulo com o ângulo reto em . A hipotenusa é . Queremos mostrar que o ângulo entre a mediana (com ponto médio de ) e a altura (com projeção de em ) vale
Usaremos coordenadas e cálculo de inclinações de retas.
Passo 2
Colocamos o triângulo no plano cartesiano definindo
A=(0,0), B=(b,0), C=(0,c),
com b>0 e c>0. Assim AB=b, AC=c, e BC é a hipotenusa.
Passo 3
Como M é ponto médio de BC,
M=l(tfracb2,,tfracc2r)
A inclinação (coeficiente angular) da reta AM é
mAM =c2-0b2-0 =cb
Passo 4
A reta BC tem inclinação
mBC =c-00-b =-cb,
logo a reta AD, perpendicular a BC, tem inclinação recíproca negativa
mAD =-1mBC =bc
Passo 5
O ângulo theta entre duas retas de inclinações m1 e m2 satisfaz