Mostre que em um triângulo retângulo qualquer, o ângulo formado pela altura e mediana relativa à hipotenusa é igual ao módulo da diferença dos ângulos adjacentes à hipotenusa.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo l|ang<= ABC - ang<= ACBr| com o ângulo reto em . A hipotenusa é . Queremos mostrar que o ângulo entre a mediana (com ponto médio de ) e a altura (com projeção de em ) vale
Usaremos coordenadas e cálculo de inclinações de retas.

Passo 2

Colocamos o triângulo no plano cartesiano definindo
A=(0,0), B=(b,0), C=(0,c),
com e . Assim , , e é a hipotenusa.

Passo 3

Como M=l(tfracb2,,tfracc2r) é ponto médio de mAM =c2-0b2-0 =cb ,
A inclinação (coeficiente angular) da reta é

Passo 4

A reta mBC =c-00-b =-cb, tem inclinação
mAD =-1mBC =bc
logo a reta , perpendicular a , tem inclinação recíproca negativa

Passo 5

O ângulo theta =l|arctan(m2)-arctan(m1)r| entre duas retas de inclinações theta =l|arctan(mAD)-arctan(mAM)r| =l|arctan!l(tfracbcr)-arctan!l(tfraccbr)r| e satisfaz
Aqui

Passo 6

No triângulo retângulo vale
tan(ang<= ABC)=cb, tan(ang<= ACB)=bc,
portanto
ang<= ABC=arctan!l(tfraccbr), ang<= ACB=arctan!l(tfracbcr)
Logo
theta =l|arctan!l(tfracbcr)-arctan!l(tfraccbr)r| =l|ang<= ACB-ang<= ABCr| =l|ang<= ABC-ang<= ACBr|

Resposta

O ângulo formado pela altura e pela mediana à hipotenusa é
l|ang<= ABC - ang<= ACBr|