Mostre que em um triângulo retângulo qualquer, o ângulo formado pela altura e mediana relativa à hipotenusa é igual ao módulo da diferença dos ângulos adjacentes à hipotenusa.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A hipotenusa é BC. Queremos mostrar que o ângulo entre a mediana AM (com M ponto médio de BC) e a altura AD (com D projeção de A em BC) vale
l|ang<= ABC - ang<= ACBr|
Usaremos coordenadas e cálculo de inclinações de retas.

Passo 2

Colocamos o triângulo no plano cartesiano definindo
A=(0,0), B=(b,0), C=(0,c),
com b>0 e c>0. Assim AB=b, AC=c, e BC é a hipotenusa.

Passo 3

Como M é ponto médio de BC,
M=l(tfracb2,,tfracc2r)
A inclinação (coeficiente angular) da reta AM é
mAM =c2-0b2-0 =cb

Passo 4

A reta BC tem inclinação
mBC =c-00-b =-cb,
logo a reta AD, perpendicular a BC, tem inclinação recíproca negativa
mAD =-1mBC =bc

Passo 5

O ângulo theta entre duas retas de inclinações m1 e m2 satisfaz
theta =l|arctan(m2)-arctan(m1)r|
Aqui
theta =l|arctan(mAD)-arctan(mAM)r| =l|arctan!l(tfracbcr)-arctan!l(tfraccbr)r|

Passo 6

No triângulo retângulo vale
tan(ang<= ABC)=cb, tan(ang<= ACB)=bc,
portanto
ang<= ABC=arctan!l(tfraccbr), ang<= ACB=arctan!l(tfracbcr)
Logo
theta =l|arctan!l(tfracbcr)-arctan!l(tfraccbr)r| =l|ang<= ACB-ang<= ABCr| =l|ang<= ABC-ang<= ACBr|

Resposta

O ângulo formado pela altura e pela mediana à hipotenusa é
l|ang<= ABC - ang<= ACBr|

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