Prove que as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo formam ângulos que independem dos valores daqueles ângulos agudos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo triang<= ABC retângulo em C, isto é ang<= C = 90^circ. Precisamos provar que as bissetrizes internas de ang<= A e de ang<= B se cruzam num ponto I formando entre si um ângulo que não depende de A nem de B. O conteúdo usado será geometria plana, soma dos ângulos internos de um triângulo e definição de bissetriz interna.

Passo 2

Denotemos por AI a bissetriz interna de ang<= A e por BI a bissetriz interna de ang<= B, intersectando–se em I. Como as bissetrizes internas concorrem, I é o incentro do triângulo.

Passo 3

No triângulo triang<= AIB, os ângulos em A e em B são metades dos ângulos originais, pois AI e BI são bissetrizes. Assim,
ang<= IAB = A2 e ang<= ABI = B2

Passo 4

Pela soma dos ângulos internos de triang<= AIB temos
ang<= AIB = 180^circ - ang<= IAB - ang<= ABI = 180^circ - A2 - B2 = 180^circ - A+B2

Passo 5

Como triang<= ABC é retângulo em C, vale A + B = 90^circ. Logo
ang<= AIB = 180^circ - 90^circ2 = 180^circ - 45^circ = 135^circ
Portanto, o ângulo formado pelas bissetrizes de A e B é sempre ,135^circ, independentemente dos valores de A e B.

Resposta

O ângulo entre as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é ,135^circ.

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