Prove que as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo formam ângulos que independem dos valores daqueles ângulos agudos.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo
retângulo em
, isto é
. Precisamos provar que as bissetrizes internas de
e de
se cruzam num ponto
formando entre si um ângulo que não depende de
nem de
. O conteúdo usado será geometria plana, soma dos ângulos internos de um triângulo e definição de bissetriz interna.
Passo 2
Denotemos por
a bissetriz interna de
e por
a bissetriz interna de
, intersectando–se em
. Como as bissetrizes internas concorrem,
é o incentro do triângulo.
Passo 3
No triângulo
, os ângulos em
e em
são metades dos ângulos originais, pois
e
são bissetrizes. Assim,
Passo 4
Pela soma dos ângulos internos de
temos
Passo 5
Como
é retângulo em
, vale
. Logo
Portanto, o ângulo formado pelas bissetrizes de
e
é sempre
, independentemente dos valores de
e
.
Resposta
O ângulo entre as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é
.