Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabendo que a mediana e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de 35^circ.

Passo 1

O triângulo ABC é retângulo em C, logo widehat A+widehat B=90^circ. A mediana relativa à hipotenusa AB sai de C até o ponto médio M de AB e a bissetriz relativa à hipotenusa é na verdade a bissetriz do ângulo reto widehat C=90^circ. Essas duas semirretas partem de C e formam um ângulo de 35^circ. Vamos usar coordenadas e vetor para expressar essa condição e, em seguida, traduzir em termos dos ângulos agudos widehat A e widehat B.

Passo 2

Posicionamos C=(0,0), A=(b,0) e B=(0,a). Então a hipotenusa vale
c=raiza^2+b^2,
o ponto médio de AB é
M=l(tfrac b2,tfrac a2r),
e o vetor da mediana é
vm = CM = l(tfrac b2,tfrac a2r)
A bissetriz do ângulo reto em C vai na direção da soma dos versores ao longo de CA e CB, ou seja
vb = (1,0)+(0,1)=(1,1)

Passo 3

O cosseno do ângulo theta entre vb e vm é dado por
costheta = vb!cdot!vm|vb|;|vm| = tfrac b2+tfrac a2raiz2,l(tfrac c2r) = a+braiz2,c
Como esse ângulo é 35^circ, temos
cos 35^circ=a+braiz2,c

Passo 4

Nas razões trigonométricas do triângulo, a=csinwidehat A e b=ccoswidehat A (pois widehat B=90^circ-widehat A). Logo
a+b = cl(sinwidehat A+coswidehat Ar),
e a condição vira
c(sinwidehat A+coswidehat A)raiz2,c =cos 35^circ Longrightarrow sinwidehat A+coswidehat Araiz2 =cos 35^circ

Passo 5

Usamos a identidade
sin x+cos x = raiz2,sinl(x+45^circr),
então
sinl(widehat A+45^circr) =cos 35^circ =sin 55^circ
As soluções no intervalo (0,90^circ) são
widehat A+45^circ=55^circ Longrightarrow widehat A=10^circ
ou
widehat A+45^circ=125^circ Longrightarrow widehat A=80^circ

Passo 6

Como widehat B=90^circ-widehat A, se widehat A=10^circ então widehat B=80^circ, e vice-versa. Portanto, os ângulos agudos do triângulo são 10^circ e 80^circ.

Resposta

Os ângulos agudos valem 10^circ e 80^circ.

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