Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabendo que a mediana e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de .
Passo 1
O triângulo é retângulo em , logo . A mediana relativa à hipotenusa sai de até o ponto médio de e a bissetriz relativa à hipotenusa é na verdade a bissetriz do ângulo reto . Essas duas semirretas partem de e formam um ângulo de . Vamos usar coordenadas e vetor para expressar essa condição e, em seguida, traduzir em termos dos ângulos agudos e .
Passo 2
Posicionamos , e . Então a hipotenusa vale
o ponto médio de é
e o vetor da mediana é
A bissetriz do ângulo reto em C vai na direção da soma dos versores ao longo de CA e CB, ou seja
vb = (1,0)+(0,1)=(1,1)
Passo 3
O cosseno do ângulo theta entre vb e vm é dado por
Como widehat B=90^circ-widehat A, se widehat A=10^circ então widehat B=80^circ, e vice-versa. Portanto, os ângulos agudos do triângulo são 10^circ e 80^circ.
Resposta
Os ângulos agudos valem 10^circ e 80^circ.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 206