Em cada caso, comece com a identidade de meio-ângulo e coloque , ou seja, . Então,
Para a tangente, a demonstração é mais complicada. Primeiro obtenha a primeira forma da fórmula começando pela identidade do quociente:
Observe que para todas as três fórmulas o sinal, em geral, não pode ser determindado, pois depende do quadrante no qual / 2 pertence. Para obter a segunda forma da fórmula de meio-ângulo para tangentes e eliminar a ambiguidade de sinal nesse caso, elimine a fração de dentro do radical:
Desse modo tg A2 e 1-cos Asen A são sempre iguais em valor absoluto. Para provar que de fato essas quantidades são sempre iguais, é suficiente mostrar que elas têm o mesmo sinal para qualquer valor de A entre 0 e 2 pi, o que pode ser feito como a seguir: primeiro, observe que 1 - cos A nunca é negativo, assim, o sinal da expressão com fração depende unicamente do sinal do sen A. Se 0 <= A <= pi, ambos sen A e tg (A / 2) são não negativos, se pi <= A <= 2 pi, ambos são não positivos. Resumindo,
tg A2=1-cos Asen A
A demonstração da terceira forma é deixada para o estudante (Problema 24.26).
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de meio-ângulo de cosseno, seno e tangente usando a identidade de ângulo duplo. Vamos partir das identidades
cos 2theta = 2cos^2theta - 1 e cos 2theta = 1 - 2sin^2theta
e fazer A=2theta, isto é, theta=A/2.
Passo 2
Para cos^2A2 use
cos A = 2cos^2A2 - 1,
de onde
cos^2A2 = 1 + cos A2
Passo 3
Para sin^2A2 use
cos A = 1 - 2sin^2A2,
de onde
sin^2A2 = 1 - cos A2
Passo 4
Extraindo raízes quadradas das expressões dos passos anteriores, obtemos
cosA2 = pm raiz1 + cos A2 e sinA2 = pm raiz1 - cos A2,
onde o sinal pm depende do quadrante de A/2.
Passo 5
Para tanA2 escrevemos
tanA2 = sinA2cosA2 = pmraiz1 - cos A1 + cos A
Multiplicando por 1-cos A1-cos A dentro do radical,