24.11 Demonstre as fórmulas de meio-ângulo.
Em cada caso, comece com a identidade de meio-ângulo e coloque A=2 theta, ou seja, theta=A. Então,
cos ^2 A2 & =1+cos A2 & sen^2 A2 & =1-cos A2 cos A2 & = pm raiz1+cos A2 & sen A2 & = pm raiz1-cos A2
Para a tangente, a demonstração é mais complicada. Primeiro obtenha a primeira forma da fórmula começando pela identidade do quociente:
tg A2=sen A2cos A2= pm raiz1-cos A2 pm raiz1+cos A2= pm raiz1-cos A1+cos A
Observe que para todas as três fórmulas o sinal, em geral, não pode ser determindado, pois depende do quadrante no qual A / 2 pertence. Para obter a segunda forma da fórmula de meio-ângulo para tangentes e eliminar a ambiguidade de sinal nesse caso, elimine a fração de dentro do radical:
tg A2 & = pm raiz1-cos A1+cos A= pm raiz1-cos A1+cos A cdot 1-cos A1-cos A= pm raiz(1-cos A)^21-cos ^2 A & = pm raiz(1-cos A)^2sen^2 A= pm|1-cos Asen A|
Desse modo tg A2 e 1-cos Asen A são sempre iguais em valor absoluto. Para provar que de fato essas quantidades são sempre iguais, é suficiente mostrar que elas têm o mesmo sinal para qualquer valor de A entre 0 e 2 pi, o que pode ser feito como a seguir: primeiro, observe que 1 - cos A nunca é negativo, assim, o sinal da expressão com fração depende unicamente do sinal do sen A. Se 0 <= A <= pi, ambos sen A e tg (A / 2) são não negativos, se pi <= A <= 2 pi, ambos são não positivos. Resumindo,
tg A2=1-cos Asen A
A demonstração da terceira forma é deixada para o estudante (Problema 24.26).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de meio-ângulo de cosseno, seno e tangente usando a identidade de ângulo duplo. Vamos partir das identidades
cos 2theta = 2cos^2theta - 1 e cos 2theta = 1 - 2sin^2theta
e fazer A=2theta, isto é, theta=A/2.

Passo 2

Para cos^2A2 use
cos A = 2cos^2A2 - 1,
de onde
cos^2A2 = 1 + cos A2

Passo 3

Para sin^2A2 use
cos A = 1 - 2sin^2A2,
de onde
sin^2A2 = 1 - cos A2

Passo 4

Extraindo raízes quadradas das expressões dos passos anteriores, obtemos
cosA2 = pm raiz1 + cos A2 e sinA2 = pm raiz1 - cos A2,
onde o sinal pm depende do quadrante de A/2.

Passo 5

Para tanA2 escrevemos
tanA2 = sinA2cosA2 = pmraiz1 - cos A1 + cos A
Multiplicando por 1-cos A1-cos A dentro do radical,
tanA2 = pmraiz(1-cos A)^21-cos^2A = pmraiz(1-cos A)^2sin^2A = pmgl|1-cos Asin Agr|
Analisando os sinais de sin A e tan(A/2) em cada quadrante, conclui-se que se pode remover pm e o valor absoluto, ficando
tanA2 = 1 - cos Asin A

Resposta

cos^2A2 = 1 + cos A2, sin^2A2 = 1 - cos A2,
cosA2 = pm raiz1 + cos A2, sinA2 = pm raiz1 - cos A2,
tanA2 = pm raiz1 - cos A1 + cos A = 1 - cos Asin A

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