Demonstre que se a função quadratica f(x)=a x^2+b x+c, a neq 0, passui dials zeros distintos, então a função quadrätica f(x)=a x^2+b x+c+m(2 a x+b) tambén possui dois zeros distintos, qualquer que seja m.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=a x^2+b x+c com aneq0 e afirma que ela possui duas raízes reais e distintas. Sabemos que isso equivale a dizer que o discriminante
De<a = b^2-4ac
é estritamente positivo. Precisamos mostrar que, para qualquer real m, a nova função
g(x)=f(x)+ml(2a x+br)
é também uma quadrática com discriminante positivo, logo com duas raízes reais distintas.

Passo 2

Calculemos g(x) usando a derivada de f. Como
f'(x)=2a x+b,
temos
g(x)=f(x)+m,f'(x) =a x^2+b x+c + m,(2a x+b) =a x^2+l(b+2a mr)x+l(c+b mr)

Passo 3

O discriminante de g é
De<ag =l(b+2a mr)^2-4al(c+b mr)
Desenvolvendo,
De<ag =b^2+4abm+4a^2m^2-4ac-4abm =l(b^2-4acr)+4a^2m^2 =De<a +4a^2m^2

Passo 4

Como De<a=b^2-4ac>0 (hipótese) e 4a^2m^2>=0 para todo m, segue que
De<ag=De<a+4a^2m^2>0
Logo g(x) tem discriminante positivo e, portanto, duas raízes reais e distintas para qualquer valor de m.

Resposta

A quadrática f(x)+m(2ax+b) possui sempre duas raízes reais e distintas, pois seu discriminante é De<a+4a^2m^2>0.

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