Demonstre que se a função quadratica
, passui dials zeros distintos, então a função quadrätica
tambén possui dois zeros distintos, qualquer que seja m.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
com
e afirma que ela possui duas raízes reais e distintas. Sabemos que isso equivale a dizer que o discriminante
é estritamente positivo. Precisamos mostrar que, para qualquer real
, a nova função
é também uma quadrática com discriminante positivo, logo com duas raízes reais distintas.
Passo 2
Calculemos
usando a derivada de
. Como
temos
Passo 3
O discriminante de
é
Desenvolvendo,
Passo 4
Como
(hipótese) e
para todo
, segue que
Logo
tem discriminante positivo e, portanto, duas raízes reais e distintas para qualquer valor de
.
Resposta
A quadrática
possui sempre duas raízes reais e distintas, pois seu discriminante é
.